Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30395 / 16956
↖ ↑ ↗
← N 65.229102°
W 13.035279°		 ← 255.94 m → N 65.229102°
W 13.029785°		 →
↑
255.99 m
↓
↑
255.99 m
↓
N 65.226800°
W 13.035279°		 ← 255.96 m →
65 520 m²		 N 65.226800°
W 13.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463798522949219 y=0.258735656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463798522949219 × 216)
    floor (0.463798522949219 × 65536)
    floor (30395.5)     		tx = 30395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258735656738281 × 216)
    floor (0.258735656738281 × 65536)
    floor (16956.5)     		ty = 16956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30395 / 16956 ti = "16/30395/16956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30395/16956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30395 ÷ 216
    30395 ÷ 65536     		x = 0.463790893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16956 ÷ 216
    16956 ÷ 65536     		y = 0.25872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463790893554688 × 2 - 1) × π
    -0.072418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22750853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25872802734375 × 2 - 1) × π
    0.4825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51595651358466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22750853} λ = -0.22750853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51595651358466))-π/2
    2×atan(4.55377479179369)-π/2
    2×1.35462946137864-π/2
    2.70925892275728-1.57079632675     		φ = 1.13846260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22750853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.035279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13846260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.229102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30395 KachelY 16956 -0.22750853 1.13846260 -13.035279 65.229102
    Oben rechts KachelX + 1 30396 KachelY 16956 -0.22741265 1.13846260 -13.029785 65.229102
    Unten links KachelX 30395 KachelY + 1 16957 -0.22750853 1.13842242 -13.035279 65.226800
    Unten rechts KachelX + 1 30396 KachelY + 1 16957 -0.22741265 1.13842242 -13.029785 65.226800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13846260-1.13842242) × R
    4.01800000000563e-05 × 6371000     		dl = 255.986780000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13846260-1.13842242) × R
    4.01800000000563e-05 × 6371000     		dr = 255.986780000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22750853--0.22741265) × cos(1.13846260) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.41899094303216 × 6371000     		do = 255.941237657771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22750853--0.22741265) × cos(1.13842242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.419027425748718 × 6371000     		du = 255.963523179175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13846260)-sin(1.13842242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41899094303216-0.419027425748718)×R²
    abs(-0.22741265--0.22750853)×3.64827165584836e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.64827165584836e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.64827165584836e-05×40589641000000     		ar = 65520.4257056234m²