Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30394 / 20122
↖ ↑ ↗
← N 56.866991°
W 13.040772°		 ← 333.85 m → N 56.866991°
W 13.035279°		 →
↑
333.84 m
↓
↑
333.84 m
↓
N 56.863989°
W 13.040772°		 ← 333.87 m →
111 456 m²		 N 56.863989°
W 13.035279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463783264160156 y=0.307044982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463783264160156 × 216)
    floor (0.463783264160156 × 65536)
    floor (30394.5)     		tx = 30394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307044982910156 × 216)
    floor (0.307044982910156 × 65536)
    floor (20122.5)     		ty = 20122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30394 / 20122 ti = "16/30394/20122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30394/20122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30394 ÷ 216
    30394 ÷ 65536     		x = 0.463775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20122 ÷ 216
    20122 ÷ 65536     		y = 0.307037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.07244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22760440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307037353515625 × 2 - 1) × π
    0.38592529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21242006519046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22760440} λ = -0.22760440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21242006519046))-π/2
    2×atan(3.36161013215285)-π/2
    2×1.28165627936618-π/2
    2.56331255873236-1.57079632675     		φ = 0.99251623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22760440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99251623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.866991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30394 KachelY 20122 -0.22760440 0.99251623 -13.040772 56.866991
    Oben rechts KachelX + 1 30395 KachelY 20122 -0.22750853 0.99251623 -13.035279 56.866991
    Unten links KachelX 30394 KachelY + 1 20123 -0.22760440 0.99246383 -13.040772 56.863989
    Unten rechts KachelX + 1 30395 KachelY + 1 20123 -0.22750853 0.99246383 -13.035279 56.863989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99251623-0.99246383) × R
    5.23999999999525e-05 × 6371000     		dl = 333.840399999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99251623-0.99246383) × R
    5.23999999999525e-05 × 6371000     		dr = 333.840399999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22760440--0.22750853) × cos(0.99251623) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.546584492163027 × 6371000     		do = 333.847123084927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22760440--0.22750853) × cos(0.99246383) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.546628371380138 × 6371000     		du = 333.873923974096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99251623)-sin(0.99246383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546584492163027-0.546628371380138)×R²
    abs(-0.22750853--0.22760440)×4.38792171110203e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.38792171110203e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.38792171110203e-05×40589641000000     		ar = 111456.130744697m²