Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30394 / 16287
↖ ↑ ↗
← N 66.724712°
W 13.040772°		 ← 241.35 m → N 66.724712°
W 13.035279°		 →
↑
241.40 m
↓
↑
241.40 m
↓
N 66.722541°
W 13.040772°		 ← 241.37 m →
58 264 m²		 N 66.722541°
W 13.035279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463783264160156 y=0.248527526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463783264160156 × 216)
    floor (0.463783264160156 × 65536)
    floor (30394.5)     		tx = 30394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248527526855469 × 216)
    floor (0.248527526855469 × 65536)
    floor (16287.5)     		ty = 16287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30394 / 16287 ti = "16/30394/16287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30394/16287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30394 ÷ 216
    30394 ÷ 65536     		x = 0.463775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16287 ÷ 216
    16287 ÷ 65536     		y = 0.248519897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.07244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22760440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248519897460938 × 2 - 1) × π
    0.502960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58009608527629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22760440} λ = -0.22760440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58009608527629))-π/2
    2×atan(4.85542232342005)-π/2
    2×1.36768112214624-π/2
    2.73536224429247-1.57079632675     		φ = 1.16456592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22760440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16456592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.724712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30394 KachelY 16287 -0.22760440 1.16456592 -13.040772 66.724712
    Oben rechts KachelX + 1 30395 KachelY 16287 -0.22750853 1.16456592 -13.035279 66.724712
    Unten links KachelX 30394 KachelY + 1 16288 -0.22760440 1.16452803 -13.040772 66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 30395 KachelY + 1 16288 -0.22750853 1.16452803 -13.035279 66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16456592-1.16452803) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dl = 241.397189999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16456592-1.16452803) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dr = 241.397189999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22760440--0.22750853) × cos(1.16456592) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.395149331667485 × 6371000     		do = 241.352379106238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22760440--0.22750853) × cos(1.16452803) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 241.373638252924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16456592)-sin(1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395149331667485-0.395184137778101)×R²
    abs(-0.22750853--0.22760440)×3.48061106164588e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.48061106164588e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.48061106164588e-05×40589641000000     		ar = 58264.3520717971m²