Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30394 / 13242
↖ ↑ ↗
← N 72.511629°
W 13.040772°		 ← 183.55 m → N 72.511629°
W 13.035279°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 72.509979°
W 13.040772°		 ← 183.57 m →
33 692 m²		 N 72.509979°
W 13.035279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463783264160156 y=0.202064514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463783264160156 × 216)
    floor (0.463783264160156 × 65536)
    floor (30394.5)     		tx = 30394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202064514160156 × 216)
    floor (0.202064514160156 × 65536)
    floor (13242.5)     		ty = 13242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30394 / 13242 ti = "16/30394/13242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30394/13242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30394 ÷ 216
    30394 ÷ 65536     		x = 0.463775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13242 ÷ 216
    13242 ÷ 65536     		y = 0.202056884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.07244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22760440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202056884765625 × 2 - 1) × π
    0.59588623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87203180396243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22760440} λ = -0.22760440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87203180396243))-π/2
    2×atan(6.50149274727649)-π/2
    2×1.41818150504617-π/2
    2.83636301009234-1.57079632675     		φ = 1.26556668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22760440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26556668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.511629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30394 KachelY 13242 -0.22760440 1.26556668 -13.040772 72.511629
    Oben rechts KachelX + 1 30395 KachelY 13242 -0.22750853 1.26556668 -13.035279 72.511629
    Unten links KachelX 30394 KachelY + 1 13243 -0.22760440 1.26553787 -13.040772 72.509979
    Unten rechts KachelX + 1 30395 KachelY + 1 13243 -0.22750853 1.26553787 -13.035279 72.509979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26556668-1.26553787) × R
    2.88100000001013e-05 × 6371000     		dl = 183.548510000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26556668-1.26553787) × R
    2.88100000001013e-05 × 6371000     		dr = 183.548510000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22760440--0.22750853) × cos(1.26556668) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.300512215184437 × 6371000     		do = 183.549185770312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22760440--0.22750853) × cos(1.26553787) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.30053969340292 × 6371000     		du = 183.565969130103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26556668)-sin(1.26553787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300512215184437-0.30053969340292)×R²
    abs(-0.22750853--0.22760440)×2.74782184832567e-05×R²
    9.58700000000257e-05×2.74782184832567e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×2.74782184832567e-05×40589641000000     		ar = 33691.7198423584m²