Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30393 / 41793
↖ ↑ ↗
← S 44.343494°
W 13.046264°		 ← 436.81 m → S 44.343494°
W 13.040772°		 →
↑
436.80 m
↓
↑
436.80 m
↓
S 44.347422°
W 13.046264°		 ← 436.78 m →
190 791 m²		 S 44.347422°
W 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463768005371094 y=0.637718200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463768005371094 × 216)
    floor (0.463768005371094 × 65536)
    floor (30393.5)     		tx = 30393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637718200683594 × 216)
    floor (0.637718200683594 × 65536)
    floor (41793.5)     		ty = 41793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30393 / 41793 ti = "16/30393/41793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30393/41793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30393 ÷ 216
    30393 ÷ 65536     		x = 0.463760375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41793 ÷ 216
    41793 ÷ 65536     		y = 0.637710571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463760375976562 × 2 - 1) × π
    -0.072479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22770027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637710571289062 × 2 - 1) × π
    -0.275421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.865261038142014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22770027} λ = -0.22770027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865261038142014))-π/2
    2×atan(0.420941656456502)-π/2
    2×0.398428178350641-π/2
    0.796856356701283-1.57079632675     		φ = -0.77393997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22770027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.046264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77393997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.343494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30393 KachelY 41793 -0.22770027 -0.77393997 -13.046264 -44.343494
    Oben rechts KachelX + 1 30394 KachelY 41793 -0.22760440 -0.77393997 -13.040772 -44.343494
    Unten links KachelX 30393 KachelY + 1 41794 -0.22770027 -0.77400853 -13.046264 -44.347422
    Unten rechts KachelX + 1 30394 KachelY + 1 41794 -0.22760440 -0.77400853 -13.040772 -44.347422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77393997--0.77400853) × R
    6.85599999999953e-05 × 6371000     		dl = 436.79575999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77393997--0.77400853) × R
    6.85599999999953e-05 × 6371000     		dr = 436.79575999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22770027--0.22760440) × cos(-0.77393997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.715162352563955 × 6371000     		do = 436.812418510483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22770027--0.22760440) × cos(-0.77400853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.715114430297027 × 6371000     		du = 436.783148175932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77393997)-sin(-0.77400853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715162352563955-0.715114430297027)×R²
    abs(-0.22760440--0.22770027)×4.79222669284018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79222669284018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79222669284018e-05×40589641000000     		ar = 190791.419816563m²