Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30393 / 13502
↖ ↑ ↗
← N 72.077292°
W 13.046264°		 ← 187.96 m → N 72.077292°
W 13.040772°		 →
↑
187.94 m
↓
↑
187.94 m
↓
N 72.075602°
W 13.046264°		 ← 187.98 m →
35 328 m²		 N 72.075602°
W 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463768005371094 y=0.206031799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463768005371094 × 216)
    floor (0.463768005371094 × 65536)
    floor (30393.5)     		tx = 30393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206031799316406 × 216)
    floor (0.206031799316406 × 65536)
    floor (13502.5)     		ty = 13502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30393 / 13502 ti = "16/30393/13502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30393/13502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30393 ÷ 216
    30393 ÷ 65536     		x = 0.463760375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13502 ÷ 216
    13502 ÷ 65536     		y = 0.206024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463760375976562 × 2 - 1) × π
    -0.072479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22770027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206024169921875 × 2 - 1) × π
    0.58795166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84710461616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22770027} λ = -0.22770027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84710461616))-π/2
    2×atan(6.34143203619187)-π/2
    2×1.4143911998125-π/2
    2.828782399625-1.57079632675     		φ = 1.25798607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22770027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.046264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25798607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.077292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30393 KachelY 13502 -0.22770027 1.25798607 -13.046264 72.077292
    Oben rechts KachelX + 1 30394 KachelY 13502 -0.22760440 1.25798607 -13.040772 72.077292
    Unten links KachelX 30393 KachelY + 1 13503 -0.22770027 1.25795657 -13.046264 72.075602
    Unten rechts KachelX + 1 30394 KachelY + 1 13503 -0.22760440 1.25795657 -13.040772 72.075602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25798607-1.25795657) × R
    2.95000000001266e-05 × 6371000     		dl = 187.944500000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25798607-1.25795657) × R
    2.95000000001266e-05 × 6371000     		dr = 187.944500000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22770027--0.22760440) × cos(1.25798607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307733730200427 × 6371000     		do = 187.959998822897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22770027--0.22760440) × cos(1.25795657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307761798505783 × 6371000     		du = 187.977142600532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25798607)-sin(1.25795657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307733730200427-0.307761798505783)×R²
    abs(-0.22760440--0.22770027)×2.80683053556219e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80683053556219e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80683053556219e-05×40589641000000     		ar = 35327.6590407113m²