Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30392 / 41784
↖ ↑ ↗
← S 44.308127°
W 13.051758°		 ← 437.12 m → S 44.308127°
W 13.046264°		 →
↑
437.05 m
↓
↑
437.05 m
↓
S 44.312057°
W 13.051758°		 ← 437.09 m →
191 038 m²		 S 44.312057°
W 13.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463752746582031 y=0.637580871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463752746582031 × 216)
    floor (0.463752746582031 × 65536)
    floor (30392.5)     		tx = 30392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637580871582031 × 216)
    floor (0.637580871582031 × 65536)
    floor (41784.5)     		ty = 41784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30392 / 41784 ti = "16/30392/41784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30392/41784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30392 ÷ 216
    30392 ÷ 65536     		x = 0.4637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41784 ÷ 216
    41784 ÷ 65536     		y = 0.6375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22779615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.864398173948853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22779615} λ = -0.22779615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864398173948853))-π/2
    2×atan(0.421305028687166)-π/2
    2×0.398736815385277-π/2
    0.797473630770553-1.57079632675     		φ = -0.77332270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22779615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77332270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.308127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30392 KachelY 41784 -0.22779615 -0.77332270 -13.051758 -44.308127
    Oben rechts KachelX + 1 30393 KachelY 41784 -0.22770027 -0.77332270 -13.046264 -44.308127
    Unten links KachelX 30392 KachelY + 1 41785 -0.22779615 -0.77339130 -13.051758 -44.312057
    Unten rechts KachelX + 1 30393 KachelY + 1 41785 -0.22770027 -0.77339130 -13.046264 -44.312057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77332270--0.77339130) × R
    6.85999999999742e-05 × 6371000     		dl = 437.050599999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77332270--0.77339130) × R
    6.85999999999742e-05 × 6371000     		dr = 437.050599999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22779615--0.22770027) × cos(-0.77332270) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.715593662326088 × 6371000     		do = 437.121447710478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22779615--0.22770027) × cos(-0.77339130) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.715545742390332 × 6371000     		du = 437.092175746799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77332270)-sin(-0.77339130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715593662326088-0.715545742390332)×R²
    abs(-0.22770027--0.22779615)×4.79199357562576e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79199357562576e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79199357562576e-05×40589641000000     		ar = 191037.794404831m²