Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30392 / 28188
N 24.387128°
W 13.051758°
← 556.35 m → N 24.387128°
W 13.046264°

556.32 m

556.32 m
N 24.382124°
W 13.051758°
← 556.37 m →
309 512 m²
N 24.382124°
W 13.046264°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463752746582031 y=0.430122375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463752746582031 × 216)
    floor (0.463752746582031 × 65536)
    floor (30392.5)
    tx = 30392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430122375488281 × 216)
    floor (0.430122375488281 × 65536)
    floor (28188.5)
    ty = 28188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30392 / 28188 ti = "16/30392/28188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30392/28188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30392 ÷ 216
    30392 ÷ 65536
    x = 0.4637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28188 ÷ 216
    28188 ÷ 65536
    y = 0.43011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.072509765625 × 3.1415926535
    Λ = -0.22779615
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.43011474609375 × 2 - 1) × π
    0.1397705078125 × 3.1415926535
    Φ = 0.439102000519714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22779615} λ = -0.22779615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439102000519714))-π/2
    2×atan(1.55131351410265)-π/2
    2×0.998215996850445-π/2
    1.99643199370089-1.57079632675
    φ = 0.42563567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22779615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42563567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.387128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30392 KachelY 28188 -0.22779615 0.42563567 -13.051758 24.387128
    Oben rechts KachelX + 1 30393 KachelY 28188 -0.22770027 0.42563567 -13.046264 24.387128
    Unten links KachelX 30392 KachelY + 1 28189 -0.22779615 0.42554835 -13.051758 24.382124
    Unten rechts KachelX + 1 30393 KachelY + 1 28189 -0.22770027 0.42554835 -13.046264 24.382124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.42563567-0.42554835) × R
    8.73200000000018e-05 × 6371000
    dl = 556.315720000012m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.42563567-0.42554835) × R
    8.73200000000018e-05 × 6371000
    dr = 556.315720000012m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22779615--0.22770027) × cos(0.42563567) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.910776448955758 × 6371000
    do = 556.349141793726m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22779615--0.22770027) × cos(0.42554835) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.910812499895618 × 6371000
    du = 556.371163563695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.42563567)-sin(0.42554835))×
    abs(λ12)×abs(0.910776448955758-0.910812499895618)×
    abs(-0.22770027--0.22779615)×3.60509398600328e-05×
    9.58799999999926e-05×3.60509398600328e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.60509398600328e-05×40589641000000
    ar = 309511.899113344m²