Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30392 / 16297
↖ ↑ ↗
← N 66.702997°
W 13.051758°		 ← 241.59 m → N 66.702997°
W 13.046264°		 →
↑
241.59 m
↓
↑
241.59 m
↓
N 66.700824°
W 13.051758°		 ← 241.61 m →
58 368 m²		 N 66.700824°
W 13.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463752746582031 y=0.248680114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463752746582031 × 216)
    floor (0.463752746582031 × 65536)
    floor (30392.5)     		tx = 30392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248680114746094 × 216)
    floor (0.248680114746094 × 65536)
    floor (16297.5)     		ty = 16297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30392 / 16297 ti = "16/30392/16297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30392/16297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30392 ÷ 216
    30392 ÷ 65536     		x = 0.4637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16297 ÷ 216
    16297 ÷ 65536     		y = 0.248672485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22779615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248672485351562 × 2 - 1) × π
    0.502655029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57913734728389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22779615} λ = -0.22779615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57913734728389))-π/2
    2×atan(4.85076947635646)-π/2
    2×1.36749161637336-π/2
    2.73498323274671-1.57079632675     		φ = 1.16418691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22779615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16418691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.702997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30392 KachelY 16297 -0.22779615 1.16418691 -13.051758 66.702997
    Oben rechts KachelX + 1 30393 KachelY 16297 -0.22770027 1.16418691 -13.046264 66.702997
    Unten links KachelX 30392 KachelY + 1 16298 -0.22779615 1.16414899 -13.051758 66.700824
    Unten rechts KachelX + 1 30393 KachelY + 1 16298 -0.22770027 1.16414899 -13.046264 66.700824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16418691-1.16414899) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dl = 241.588320000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16418691-1.16414899) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dr = 241.588320000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22779615--0.22770027) × cos(1.16418691) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.395497468268421 × 6371000     		do = 241.590213828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22779615--0.22770027) × cos(1.16414899) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.395532296255234 × 6371000     		du = 241.611488555289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16418691)-sin(1.16414899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395497468268421-0.395532296255234)×R²
    abs(-0.22770027--0.22779615)×3.48279868124246e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.48279868124246e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.48279868124246e-05×40589641000000     		ar = 58367.9437567891m²