Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30391 / 41653
↖ ↑ ↗
← S 43.790924°
W 13.057251°		 ← 440.91 m → S 43.790924°
W 13.051758°		 →
↑
440.94 m
↓
↑
440.94 m
↓
S 43.794889°
W 13.057251°		 ← 440.88 m →
194 407 m²		 S 43.794889°
W 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463737487792969 y=0.635581970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463737487792969 × 216)
    floor (0.463737487792969 × 65536)
    floor (30391.5)     		tx = 30391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635581970214844 × 216)
    floor (0.635581970214844 × 65536)
    floor (41653.5)     		ty = 41653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30391 / 41653 ti = "16/30391/41653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30391/41653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30391 ÷ 216
    30391 ÷ 65536     		x = 0.463729858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41653 ÷ 216
    41653 ÷ 65536     		y = 0.635574340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463729858398438 × 2 - 1) × π
    -0.072540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22789202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635574340820312 × 2 - 1) × π
    -0.271148681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.851838706248398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22789202} λ = -0.22789202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851838706248398))-π/2
    2×atan(0.426629763510961)-π/2
    2×0.403250261532963-π/2
    0.806500523065925-1.57079632675     		φ = -0.76429580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22789202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76429580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.790924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30391 KachelY 41653 -0.22789202 -0.76429580 -13.057251 -43.790924
    Oben rechts KachelX + 1 30392 KachelY 41653 -0.22779615 -0.76429580 -13.051758 -43.790924
    Unten links KachelX 30391 KachelY + 1 41654 -0.22789202 -0.76436501 -13.057251 -43.794889
    Unten rechts KachelX + 1 30392 KachelY + 1 41654 -0.22779615 -0.76436501 -13.051758 -43.794889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76429580--0.76436501) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dl = 440.936910000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76429580--0.76436501) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dr = 440.936910000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22789202--0.22779615) × cos(-0.76429580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721869863084791 × 6371000     		do = 440.909283903755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22789202--0.22779615) × cos(-0.76436501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721821966040657 × 6371000     		du = 440.880028974979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76429580)-sin(-0.76436501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721869863084791-0.721821966040657)×R²
    abs(-0.22779615--0.22789202)×4.78970441339932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78970441339932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78970441339932e-05×40589641000000     		ar = 194406.727523654m²