Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30391 / 28189
↖ ↑ ↗
← N 24.382124°
W 13.057251°		 ← 556.31 m → N 24.382124°
W 13.051758°		 →
↑
556.38 m
↓
↑
556.38 m
↓
N 24.377121°
W 13.057251°		 ← 556.34 m →
309 527 m²		 N 24.377121°
W 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463737487792969 y=0.430137634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463737487792969 × 216)
    floor (0.463737487792969 × 65536)
    floor (30391.5)     		tx = 30391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430137634277344 × 216)
    floor (0.430137634277344 × 65536)
    floor (28189.5)     		ty = 28189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30391 / 28189 ti = "16/30391/28189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30391/28189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30391 ÷ 216
    30391 ÷ 65536     		x = 0.463729858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28189 ÷ 216
    28189 ÷ 65536     		y = 0.430130004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463729858398438 × 2 - 1) × π
    -0.072540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22789202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430130004882812 × 2 - 1) × π
    0.139739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.439006126720474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22789202} λ = -0.22789202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439006126720474))-π/2
    2×atan(1.55116479091168)-π/2
    2×0.998172336187054-π/2
    1.99634467237411-1.57079632675     		φ = 0.42554835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22789202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42554835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.382124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30391 KachelY 28189 -0.22789202 0.42554835 -13.057251 24.382124
    Oben rechts KachelX + 1 30392 KachelY 28189 -0.22779615 0.42554835 -13.051758 24.382124
    Unten links KachelX 30391 KachelY + 1 28190 -0.22789202 0.42546102 -13.057251 24.377121
    Unten rechts KachelX + 1 30392 KachelY + 1 28190 -0.22779615 0.42546102 -13.051758 24.377121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42554835-0.42546102) × R
    8.73299999999966e-05 × 6371000     		dl = 556.379429999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42554835-0.42546102) × R
    8.73299999999966e-05 × 6371000     		dr = 556.379429999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22789202--0.22779615) × cos(0.42554835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910812499895618 × 6371000     		do = 556.313135699358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22789202--0.22779615) × cos(0.42546102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910848548018138 × 6371000     		du = 556.335153451724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42554835)-sin(0.42546102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910812499895618-0.910848548018138)×R²
    abs(-0.22779615--0.22789202)×3.6048122520338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6048122520338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6048122520338e-05×40589641000000     		ar = 309527.310651004m²