Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30390 / 20396
↖ ↑ ↗
← N 56.035226°
W 13.062744°		 ← 341.24 m → N 56.035226°
W 13.057251°		 →
↑
341.29 m
↓
↑
341.29 m
↓
N 56.032157°
W 13.062744°		 ← 341.26 m →
116 467 m²		 N 56.032157°
W 13.057251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463722229003906 y=0.311225891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463722229003906 × 216)
    floor (0.463722229003906 × 65536)
    floor (30390.5)     		tx = 30390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311225891113281 × 216)
    floor (0.311225891113281 × 65536)
    floor (20396.5)     		ty = 20396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30390 / 20396 ti = "16/30390/20396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30390/20396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30390 ÷ 216
    30390 ÷ 65536     		x = 0.463714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20396 ÷ 216
    20396 ÷ 65536     		y = 0.31121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22798789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31121826171875 × 2 - 1) × π
    0.3775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18615064419867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22798789} λ = -0.22798789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18615064419867))-π/2
    2×atan(3.27445238427878)-π/2
    2×1.27439775689996-π/2
    2.54879551379992-1.57079632675     		φ = 0.97799919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22798789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97799919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.035226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30390 KachelY 20396 -0.22798789 0.97799919 -13.062744 56.035226
    Oben rechts KachelX + 1 30391 KachelY 20396 -0.22789202 0.97799919 -13.057251 56.035226
    Unten links KachelX 30390 KachelY + 1 20397 -0.22798789 0.97794562 -13.062744 56.032157
    Unten rechts KachelX + 1 30391 KachelY + 1 20397 -0.22789202 0.97794562 -13.057251 56.032157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97799919-0.97794562) × R
    5.35700000000583e-05 × 6371000     		dl = 341.294470000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97799919-0.97794562) × R
    5.35700000000583e-05 × 6371000     		dr = 341.294470000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22798789--0.22789202) × cos(0.97799919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558683098154115 × 6371000     		do = 341.236803658235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22798789--0.22789202) × cos(0.97794562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558727527304014 × 6371000     		du = 341.263940439626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97799919)-sin(0.97794562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558683098154115-0.558727527304014)×R²
    abs(-0.22789202--0.22798789)×4.44291498995497e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44291498995497e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44291498995497e-05×40589641000000     		ar = 116466.8648936m²