Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30390 / 16946
↖ ↑ ↗
← N 65.252108°
W 13.062744°		 ← 255.69 m → N 65.252108°
W 13.057251°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
N 65.249808°
W 13.062744°		 ← 255.71 m →
65 375 m²		 N 65.249808°
W 13.057251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463722229003906 y=0.258583068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463722229003906 × 216)
    floor (0.463722229003906 × 65536)
    floor (30390.5)     		tx = 30390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258583068847656 × 216)
    floor (0.258583068847656 × 65536)
    floor (16946.5)     		ty = 16946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30390 / 16946 ti = "16/30390/16946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30390/16946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30390 ÷ 216
    30390 ÷ 65536     		x = 0.463714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16946 ÷ 216
    16946 ÷ 65536     		y = 0.258575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22798789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258575439453125 × 2 - 1) × π
    0.48284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51691525157706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22798789} λ = -0.22798789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51691525157706))-π/2
    2×atan(4.55814276223045)-π/2
    2×1.35483022524513-π/2
    2.70966045049025-1.57079632675     		φ = 1.13886412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22798789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13886412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.252108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30390 KachelY 16946 -0.22798789 1.13886412 -13.062744 65.252108
    Oben rechts KachelX + 1 30391 KachelY 16946 -0.22789202 1.13886412 -13.057251 65.252108
    Unten links KachelX 30390 KachelY + 1 16947 -0.22798789 1.13882399 -13.062744 65.249808
    Unten rechts KachelX + 1 30391 KachelY + 1 16947 -0.22789202 1.13882399 -13.057251 65.249808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13886412-1.13882399) × R
    4.01300000001381e-05 × 6371000     		dl = 255.66823000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13886412-1.13882399) × R
    4.01300000001381e-05 × 6371000     		dr = 255.66823000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22798789--0.22789202) × cos(1.13886412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418626332956921 × 6371000     		do = 255.691844370029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22798789--0.22789202) × cos(1.13882399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418662777023356 × 6371000     		du = 255.714103960097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13886412)-sin(1.13882399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418626332956921-0.418662777023356)×R²
    abs(-0.22789202--0.22798789)×3.64440664354371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64440664354371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64440664354371e-05×40589641000000     		ar = 65375.1268194068m²