Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3039 / 3170
↖ ↑ ↗
← S 69.718107°
E 87.099609°		 ← 3 387.70 m → S 69.718107°
E 87.187500°		 →
↑
3 385.29 m
↓
↑
3 385.29 m
↓
S 69.748551°
E 87.099609°		 ← 3 382.83 m →
11 460 119 m²		 S 69.748551°
E 87.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7420654296875 y=0.7740478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7420654296875 × 212)
    floor (0.7420654296875 × 4096)
    floor (3039.5)     		tx = 3039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7740478515625 × 212)
    floor (0.7740478515625 × 4096)
    floor (3170.5)     		ty = 3170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3039 / 3170 ti = "12/3039/3170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3039/3170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3039 ÷ 212
    3039 ÷ 4096     		x = 0.741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3170 ÷ 212
    3170 ÷ 4096     		y = 0.77392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741943359375 × 2 - 1) × π
    0.48388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52017496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52017496} λ = 1.52017496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7211264439585))-π/2
    2×atan(0.17886455349473)-π/2
    2×0.176992908328252-π/2
    0.353985816656504-1.57079632675     		φ = -1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52017496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.099609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3039 KachelY 3170 1.52017496 -1.21681051 87.099609 -69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 3040 KachelY 3170 1.52170894 -1.21681051 87.187500 -69.718107
    Unten links KachelX 3039 KachelY + 1 3171 1.52017496 -1.21734187 87.099609 -69.748551
    Unten rechts KachelX + 1 3040 KachelY + 1 3171 1.52170894 -1.21734187 87.187500 -69.748551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21681051--1.21734187) × R
    0.000531360000000092 × 6371000     		dl = 3385.29456000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21681051--1.21734187) × R
    0.000531360000000092 × 6371000     		dr = 3385.29456000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52017496-1.52170894) × cos(-1.21681051) × R
    0.00153397999999982 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 3387.70065349637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52017496-1.52170894) × cos(-1.21734187) × R
    0.00153397999999982 × 0.346140777508011 × 6371000     		du = 3382.82917337617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21681051)-sin(-1.21734187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.346140777508011)×R²
    abs(1.52170894-1.52017496)×0.000498463809433247×R²
    0.00153397999999982×0.000498463809433247×6371000²
    0.00153397999999982×0.000498463809433247×40589641000000     		ar = 11460119.1652631m²