Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30389 / 41813
↖ ↑ ↗
← S 44.422011°
W 13.068237°		 ← 436.27 m → S 44.422011°
W 13.062744°		 →
↑
436.22 m
↓
↑
436.22 m
↓
S 44.425934°
W 13.068237°		 ← 436.24 m →
190 305 m²		 S 44.425934°
W 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463706970214844 y=0.638023376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463706970214844 × 216)
    floor (0.463706970214844 × 65536)
    floor (30389.5)     		tx = 30389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638023376464844 × 216)
    floor (0.638023376464844 × 65536)
    floor (41813.5)     		ty = 41813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30389 / 41813 ti = "16/30389/41813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30389/41813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30389 ÷ 216
    30389 ÷ 65536     		x = 0.463699340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41813 ÷ 216
    41813 ÷ 65536     		y = 0.638015747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463699340820312 × 2 - 1) × π
    -0.072601318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22808377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638015747070312 × 2 - 1) × π
    -0.276031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.867178514126816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22808377} λ = -0.22808377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867178514126816))-π/2
    2×atan(0.420135284285946)-π/2
    2×0.397742984510498-π/2
    0.795485969020996-1.57079632675     		φ = -0.77531036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22808377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.068237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77531036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.422011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30389 KachelY 41813 -0.22808377 -0.77531036 -13.068237 -44.422011
    Oben rechts KachelX + 1 30390 KachelY 41813 -0.22798789 -0.77531036 -13.062744 -44.422011
    Unten links KachelX 30389 KachelY + 1 41814 -0.22808377 -0.77537883 -13.068237 -44.425934
    Unten rechts KachelX + 1 30390 KachelY + 1 41814 -0.22798789 -0.77537883 -13.062744 -44.425934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77531036--0.77537883) × R
    6.84699999999872e-05 × 6371000     		dl = 436.222369999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77531036--0.77537883) × R
    6.84699999999872e-05 × 6371000     		dr = 436.222369999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22808377--0.22798789) × cos(-0.77531036) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.714203835770567 × 6371000     		do = 436.272470102094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22808377--0.22798789) × cos(-0.77537883) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.714155909357393 × 6371000     		du = 436.243194181676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77531036)-sin(-0.77537883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714203835770567-0.714155909357393)×R²
    abs(-0.22798789--0.22808377)×4.7926413174415e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7926413174415e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7926413174415e-05×40589641000000     		ar = 190305.425542177m²