Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30388 / 20397
↖ ↑ ↗
← N 56.032157°
W 13.073730°		 ← 341.26 m → N 56.032157°
W 13.068237°		 →
↑
341.29 m
↓
↑
341.29 m
↓
N 56.029087°
W 13.073730°		 ← 341.29 m →
116 476 m²		 N 56.029087°
W 13.068237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463691711425781 y=0.311241149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463691711425781 × 216)
    floor (0.463691711425781 × 65536)
    floor (30388.5)     		tx = 30388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311241149902344 × 216)
    floor (0.311241149902344 × 65536)
    floor (20397.5)     		ty = 20397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30388 / 20397 ti = "16/30388/20397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30388/20397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30388 ÷ 216
    30388 ÷ 65536     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20397 ÷ 216
    20397 ÷ 65536     		y = 0.311233520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311233520507812 × 2 - 1) × π
    0.377532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18605477039943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18605477039943))-π/2
    2×atan(3.27413846513682)-π/2
    2×1.27437097429945-π/2
    2.5487419485989-1.57079632675     		φ = 0.97794562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97794562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.032157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30388 KachelY 20397 -0.22817964 0.97794562 -13.073730 56.032157
    Oben rechts KachelX + 1 30389 KachelY 20397 -0.22808377 0.97794562 -13.068237 56.032157
    Unten links KachelX 30388 KachelY + 1 20398 -0.22817964 0.97789205 -13.073730 56.029087
    Unten rechts KachelX + 1 30389 KachelY + 1 20398 -0.22808377 0.97789205 -13.068237 56.029087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97794562-0.97789205) × R
    5.35699999999473e-05 × 6371000     		dl = 341.294469999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97794562-0.97789205) × R
    5.35699999999473e-05 × 6371000     		dr = 341.294469999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22808377) × cos(0.97794562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558727527304014 × 6371000     		do = 341.263940439626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22808377) × cos(0.97789205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558771954850508 × 6371000     		du = 341.291076241675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97794562)-sin(0.97789205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558727527304014-0.558771954850508)×R²
    abs(-0.22808377--0.22817964)×4.44275464940302e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44275464940302e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44275464940302e-05×40589641000000     		ar = 116476.126359929m²