Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30387 / 41769
↖ ↑ ↗
← S 44.249134°
W 13.079224°		 ← 437.56 m → S 44.249134°
W 13.073730°		 →
↑
437.50 m
↓
↑
437.50 m
↓
S 44.253069°
W 13.079224°		 ← 437.53 m →
191 425 m²		 S 44.253069°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463676452636719 y=0.637351989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463676452636719 × 216)
    floor (0.463676452636719 × 65536)
    floor (30387.5)     		tx = 30387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637351989746094 × 216)
    floor (0.637351989746094 × 65536)
    floor (41769.5)     		ty = 41769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30387 / 41769 ti = "16/30387/41769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30387/41769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30387 ÷ 216
    30387 ÷ 65536     		x = 0.463668823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41769 ÷ 216
    41769 ÷ 65536     		y = 0.637344360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463668823242188 × 2 - 1) × π
    -0.072662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22827552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637344360351562 × 2 - 1) × π
    -0.274688720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.862960066960251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22827552} λ = -0.22827552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.862960066960251))-π/2
    2×atan(0.421911346263529)-π/2
    2×0.399251623949868-π/2
    0.798503247899736-1.57079632675     		φ = -0.77229308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22827552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.079224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77229308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.249134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30387 KachelY 41769 -0.22827552 -0.77229308 -13.079224 -44.249134
    Oben rechts KachelX + 1 30388 KachelY 41769 -0.22817964 -0.77229308 -13.073730 -44.249134
    Unten links KachelX 30387 KachelY + 1 41770 -0.22827552 -0.77236175 -13.079224 -44.253069
    Unten rechts KachelX + 1 30388 KachelY + 1 41770 -0.22817964 -0.77236175 -13.073730 -44.253069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77229308--0.77236175) × R
    6.86699999999929e-05 × 6371000     		dl = 437.496569999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77229308--0.77236175) × R
    6.86699999999929e-05 × 6371000     		dr = 437.496569999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22827552--0.22817964) × cos(-0.77229308) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.716312489753077 × 6371000     		do = 437.560544508245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22827552--0.22817964) × cos(-0.77236175) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.716264571536767 × 6371000     		du = 437.531273594893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77229308)-sin(-0.77236175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716312489753077-0.716264571536767)×R²
    abs(-0.22817964--0.22827552)×4.79182163100056e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.79182163100056e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.79182163100056e-05×40589641000000     		ar = 191424.834502988m²