Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30386 / 41806
↖ ↑ ↗
← S 44.394542°
W 13.084717°		 ← 436.43 m → S 44.394542°
W 13.079224°		 →
↑
436.41 m
↓
↑
436.41 m
↓
S 44.398467°
W 13.084717°		 ← 436.40 m →
190 458 m²		 S 44.398467°
W 13.079224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463661193847656 y=0.637916564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463661193847656 × 216)
    floor (0.463661193847656 × 65536)
    floor (30386.5)     		tx = 30386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637916564941406 × 216)
    floor (0.637916564941406 × 65536)
    floor (41806.5)     		ty = 41806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30386 / 41806 ti = "16/30386/41806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30386/41806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30386 ÷ 216
    30386 ÷ 65536     		x = 0.463653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41806 ÷ 216
    41806 ÷ 65536     		y = 0.637908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.27581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866507397532135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22837139} λ = -0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866507397532135))-π/2
    2×atan(0.420417338682348)-π/2
    2×0.397982697821966-π/2
    0.795965395643932-1.57079632675     		φ = -0.77483093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77483093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.394542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30386 KachelY 41806 -0.22837139 -0.77483093 -13.084717 -44.394542
    Oben rechts KachelX + 1 30387 KachelY 41806 -0.22827552 -0.77483093 -13.079224 -44.394542
    Unten links KachelX 30386 KachelY + 1 41807 -0.22837139 -0.77489943 -13.084717 -44.398467
    Unten rechts KachelX + 1 30387 KachelY + 1 41807 -0.22827552 -0.77489943 -13.079224 -44.398467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77483093--0.77489943) × R
    6.84999999999159e-05 × 6371000     		dl = 436.413499999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77483093--0.77489943) × R
    6.84999999999159e-05 × 6371000     		dr = 436.413499999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22837139--0.22827552) × cos(-0.77483093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714539324841484 × 6371000     		do = 436.431880797226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22837139--0.22827552) × cos(-0.77489943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714491400888567 × 6371000     		du = 436.402609432894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77483093)-sin(-0.77489943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714539324841484-0.714491400888567)×R²
    abs(-0.22827552--0.22837139)×4.79239529165287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79239529165287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79239529165287e-05×40589641000000     		ar = 190458.377475299m²