Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30383 / 16079
↖ ↑ ↗
← N 67.172086°
W 13.101196°		 ← 236.96 m → N 67.172086°
W 13.095703°		 →
↑
237 m
↓
↑
237 m
↓
N 67.169955°
W 13.101196°		 ← 236.99 m →
56 163 m²		 N 67.169955°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463615417480469 y=0.245353698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463615417480469 × 216)
    floor (0.463615417480469 × 65536)
    floor (30383.5)     		tx = 30383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245353698730469 × 216)
    floor (0.245353698730469 × 65536)
    floor (16079.5)     		ty = 16079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30383 / 16079 ti = "16/30383/16079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30383/16079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30383 ÷ 216
    30383 ÷ 65536     		x = 0.463607788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16079 ÷ 216
    16079 ÷ 65536     		y = 0.245346069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463607788085938 × 2 - 1) × π
    -0.072784423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22865901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245346069335938 × 2 - 1) × π
    0.509307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.60003783551823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22865901} λ = -0.22865901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60003783551823))-π/2
    2×atan(4.95321982848897)-π/2
    2×1.37158519836197-π/2
    2.74317039672394-1.57079632675     		φ = 1.17237407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22865901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.101196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17237407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.172086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30383 KachelY 16079 -0.22865901 1.17237407 -13.101196 67.172086
    Oben rechts KachelX + 1 30384 KachelY 16079 -0.22856314 1.17237407 -13.095703 67.172086
    Unten links KachelX 30383 KachelY + 1 16080 -0.22865901 1.17233687 -13.101196 67.169955
    Unten rechts KachelX + 1 30384 KachelY + 1 16080 -0.22856314 1.17233687 -13.095703 67.169955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17237407-1.17233687) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dl = 237.001199999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17237407-1.17233687) × R
    3.71999999999595e-05 × 6371000     		dr = 237.001199999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22865901--0.22856314) × cos(1.17237407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387964660502475 × 6371000     		do = 236.964069827108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22865901--0.22856314) × cos(1.17233687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387998946516108 × 6371000     		du = 236.985011304918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17237407)-sin(1.17233687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387964660502475-0.387998946516108)×R²
    abs(-0.22856314--0.22865901)×3.42860136331447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42860136331447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42860136331447e-05×40589641000000     		ar = 56163.2504896867m²