Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30382 / 13241
↖ ↑ ↗
← N 72.513280°
W 13.106689°		 ← 183.53 m → N 72.513280°
W 13.101196°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 72.511629°
W 13.106689°		 ← 183.55 m →
33 689 m²		 N 72.511629°
W 13.101196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463600158691406 y=0.202049255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463600158691406 × 216)
    floor (0.463600158691406 × 65536)
    floor (30382.5)     		tx = 30382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202049255371094 × 216)
    floor (0.202049255371094 × 65536)
    floor (13241.5)     		ty = 13241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30382 / 13241 ti = "16/30382/13241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30382/13241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30382 ÷ 216
    30382 ÷ 65536     		x = 0.463592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13241 ÷ 216
    13241 ÷ 65536     		y = 0.202041625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.07281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22875488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202041625976562 × 2 - 1) × π
    0.595916748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87212767776167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22875488} λ = -0.22875488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87212767776167))-π/2
    2×atan(6.50211609996803)-π/2
    2×1.41819591001129-π/2
    2.83639182002258-1.57079632675     		φ = 1.26559549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22875488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.106689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26559549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.513280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30382 KachelY 13241 -0.22875488 1.26559549 -13.106689 72.513280
    Oben rechts KachelX + 1 30383 KachelY 13241 -0.22865901 1.26559549 -13.101196 72.513280
    Unten links KachelX 30382 KachelY + 1 13242 -0.22875488 1.26556668 -13.106689 72.511629
    Unten rechts KachelX + 1 30383 KachelY + 1 13242 -0.22865901 1.26556668 -13.101196 72.511629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26559549-1.26556668) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dl = 183.54850999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26559549-1.26556668) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dr = 183.54850999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22875488--0.22865901) × cos(1.26559549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300484736716524 × 6371000     		do = 183.532402258119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22875488--0.22865901) × cos(1.26556668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300512215184437 × 6371000     		du = 183.549185770258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26559549)-sin(1.26556668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300484736716524-0.300512215184437)×R²
    abs(-0.22865901--0.22875488)×2.74784679130113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74784679130113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74784679130113e-05×40589641000000     		ar = 33688.6392676437m²