Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30381 / 13249
↖ ↑ ↗
← N 72.500071°
W 13.112183°		 ← 183.69 m → N 72.500071°
W 13.106689°		 →
↑
183.68 m
↓
↑
183.68 m
↓
N 72.498419°
W 13.112183°		 ← 183.70 m →
33 740 m²		 N 72.498419°
W 13.106689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463584899902344 y=0.202171325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463584899902344 × 216)
    floor (0.463584899902344 × 65536)
    floor (30381.5)     		tx = 30381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202171325683594 × 216)
    floor (0.202171325683594 × 65536)
    floor (13249.5)     		ty = 13249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30381 / 13249 ti = "16/30381/13249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30381/13249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30381 ÷ 216
    30381 ÷ 65536     		x = 0.463577270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13249 ÷ 216
    13249 ÷ 65536     		y = 0.202163696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463577270507812 × 2 - 1) × π
    -0.072845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22885076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202163696289062 × 2 - 1) × π
    0.595672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87136068736775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22885076} λ = -0.22885076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87136068736775))-π/2
    2×atan(6.49713095140411)-π/2
    2×1.41808063340032-π/2
    2.83616126680064-1.57079632675     		φ = 1.26536494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22885076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.112183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26536494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.500071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30381 KachelY 13249 -0.22885076 1.26536494 -13.112183 72.500071
    Oben rechts KachelX + 1 30382 KachelY 13249 -0.22875488 1.26536494 -13.106689 72.500071
    Unten links KachelX 30381 KachelY + 1 13250 -0.22885076 1.26533611 -13.112183 72.498419
    Unten rechts KachelX + 1 30382 KachelY + 1 13250 -0.22875488 1.26533611 -13.106689 72.498419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26536494-1.26533611) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dl = 183.675929999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26536494-1.26533611) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dr = 183.675929999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22885076--0.22875488) × cos(1.26536494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.300704624234726 × 6371000     		do = 183.685864756612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22885076--0.22875488) × cos(1.26533611) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.300732119780127 × 6371000     		du = 183.702660451214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26536494)-sin(1.26533611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300704624234726-0.300732119780127)×R²
    abs(-0.22875488--0.22885076)×2.74955454013237e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.74955454013237e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.74955454013237e-05×40589641000000     		ar = 33740.2145218684m²