Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30381 / 13227
↖ ↑ ↗
← N 72.536374°
W 13.112183°		 ← 183.32 m → N 72.536374°
W 13.106689°		 →
↑
183.36 m
↓
↑
183.36 m
↓
N 72.534725°
W 13.112183°		 ← 183.33 m →
33 614 m²		 N 72.534725°
W 13.106689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463584899902344 y=0.201835632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463584899902344 × 216)
    floor (0.463584899902344 × 65536)
    floor (30381.5)     		tx = 30381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201835632324219 × 216)
    floor (0.201835632324219 × 65536)
    floor (13227.5)     		ty = 13227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30381 / 13227 ti = "16/30381/13227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30381/13227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30381 ÷ 216
    30381 ÷ 65536     		x = 0.463577270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13227 ÷ 216
    13227 ÷ 65536     		y = 0.201828002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463577270507812 × 2 - 1) × π
    -0.072845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22885076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201828002929688 × 2 - 1) × π
    0.596343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87346991095103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22885076} λ = -0.22885076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87346991095103))-π/2
    2×atan(6.51084931569334)-π/2
    2×1.41839744126893-π/2
    2.83679488253786-1.57079632675     		φ = 1.26599856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22885076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.112183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26599856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.536374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30381 KachelY 13227 -0.22885076 1.26599856 -13.112183 72.536374
    Oben rechts KachelX + 1 30382 KachelY 13227 -0.22875488 1.26599856 -13.106689 72.536374
    Unten links KachelX 30381 KachelY + 1 13228 -0.22885076 1.26596978 -13.112183 72.534725
    Unten rechts KachelX + 1 30382 KachelY + 1 13228 -0.22875488 1.26596978 -13.106689 72.534725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26599856-1.26596978) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dl = 183.357380000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26599856-1.26596978) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dr = 183.357380000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22885076--0.22875488) × cos(1.26599856) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.300100269543445 × 6371000     		do = 183.316693798998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22885076--0.22875488) × cos(1.26596978) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.300127722881678 × 6371000     		du = 183.333463711289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26599856)-sin(1.26596978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300100269543445-0.300127722881678)×R²
    abs(-0.22875488--0.22885076)×2.74533382328968e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.74533382328968e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.74533382328968e-05×40589641000000     		ar = 33614.0061315132m²