Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 30376 / 29080
↖ ↑ ↗
← N 70.237176°
W 96.569824°		 ← 103.27 m → N 70.237176°
W 96.567077°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
N 70.236247°
W 96.569824°		 ← 103.28 m →
10 666 m²		 N 70.236247°
W 96.567077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231754302978516 y=0.221866607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231754302978516 × 217)
    floor (0.231754302978516 × 131072)
    floor (30376.5)     		tx = 30376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221866607666016 × 217)
    floor (0.221866607666016 × 131072)
    floor (29080.5)     		ty = 29080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30376 / 29080 ti = "17/30376/29080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30376/29080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30376 ÷ 217
    30376 ÷ 131072     		x = 0.23175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29080 ÷ 217
    29080 ÷ 131072     		y = 0.22186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.68546139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22186279296875 × 2 - 1) × π
    0.5562744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74758761254877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68546139} λ = -1.68546139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74758761254877))-π/2
    2×atan(5.74073707604734)-π/2
    2×1.39833314734356-π/2
    2.79666629468713-1.57079632675     		φ = 1.22586997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68546139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22586997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.237176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30376 KachelY 29080 -1.68546139 1.22586997 -96.569824 70.237176
    Oben rechts KachelX + 1 30377 KachelY 29080 -1.68541345 1.22586997 -96.567077 70.237176
    Unten links KachelX 30376 KachelY + 1 29081 -1.68546139 1.22585376 -96.569824 70.236247
    Unten rechts KachelX + 1 30377 KachelY + 1 29081 -1.68541345 1.22585376 -96.567077 70.236247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22586997-1.22585376) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22586997-1.22585376) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68546139--1.68541345) × cos(1.22586997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338127372518205 × 6371000     		do = 103.272802965561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68546139--1.68541345) × cos(1.22585376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338142627710551 × 6371000     		du = 103.277462293972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22586997)-sin(1.22585376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338127372518205-0.338142627710551)×R²
    abs(-1.68541345--1.68546139)×1.52551923453537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52551923453537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52551923453537e-05×40589641000000     		ar = 10665.6267526757m²