Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30375 / 29081
↖ ↑ ↗
← N 70.236247°
W 96.572571°		 ← 103.28 m → N 70.236247°
W 96.569824°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
N 70.235318°
W 96.572571°		 ← 103.28 m →
10 666 m²		 N 70.235318°
W 96.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231746673583984 y=0.221874237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231746673583984 × 217)
    floor (0.231746673583984 × 131072)
    floor (30375.5)     		tx = 30375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221874237060547 × 217)
    floor (0.221874237060547 × 131072)
    floor (29081.5)     		ty = 29081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30375 / 29081 ti = "17/30375/29081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30375/29081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30375 ÷ 217
    30375 ÷ 131072     		x = 0.231742858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29081 ÷ 217
    29081 ÷ 131072     		y = 0.221870422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231742858886719 × 2 - 1) × π
    -0.536514282226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.68550933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221870422363281 × 2 - 1) × π
    0.556259155273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.74753967564915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68550933} λ = -1.68550933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74753967564915))-π/2
    2×atan(5.74046188950623)-π/2
    2×1.39832504277175-π/2
    2.7966500855435-1.57079632675     		φ = 1.22585376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68550933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.572571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22585376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.236247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30375 KachelY 29081 -1.68550933 1.22585376 -96.572571 70.236247
    Oben rechts KachelX + 1 30376 KachelY 29081 -1.68546139 1.22585376 -96.569824 70.236247
    Unten links KachelX 30375 KachelY + 1 29082 -1.68550933 1.22583755 -96.572571 70.235318
    Unten rechts KachelX + 1 30376 KachelY + 1 29082 -1.68546139 1.22583755 -96.569824 70.235318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22585376-1.22583755) × R
    1.620999999985e-05 × 6371000     		dl = 103.273909999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22585376-1.22583755) × R
    1.620999999985e-05 × 6371000     		dr = 103.273909999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68550933--1.68546139) × cos(1.22585376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338142627710551 × 6371000     		do = 103.277462293972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68550933--1.68546139) × cos(1.22583755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338157882814044 × 6371000     		du = 103.282121595245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22585376)-sin(1.22583755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338142627710551-0.338157882814044)×R²
    abs(-1.68546139--1.68550933)×1.52551034934278e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52551034934278e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52551034934278e-05×40589641000000     		ar = 10666.1079383796m²