Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30374 / 29082
↖ ↑ ↗
← N 70.235318°
W 96.575317°		 ← 103.26 m → N 70.235318°
W 96.572571°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
N 70.234389°
W 96.575317°		 ← 103.27 m →
10 664 m²		 N 70.234389°
W 96.572571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231739044189453 y=0.221881866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231739044189453 × 217)
    floor (0.231739044189453 × 131072)
    floor (30374.5)     		tx = 30374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221881866455078 × 217)
    floor (0.221881866455078 × 131072)
    floor (29082.5)     		ty = 29082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30374 / 29082 ti = "17/30374/29082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30374/29082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30374 ÷ 217
    30374 ÷ 131072     		x = 0.231735229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29082 ÷ 217
    29082 ÷ 131072     		y = 0.221878051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231735229492188 × 2 - 1) × π
    -0.536529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.68555726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221878051757812 × 2 - 1) × π
    0.556243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74749173874953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68555726} λ = -1.68555726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74749173874953))-π/2
    2×atan(5.74018671615639)-π/2
    2×1.3983169378343-π/2
    2.7966338756686-1.57079632675     		φ = 1.22583755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68555726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.575317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22583755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.235318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30374 KachelY 29082 -1.68555726 1.22583755 -96.575317 70.235318
    Oben rechts KachelX + 1 30375 KachelY 29082 -1.68550933 1.22583755 -96.572571 70.235318
    Unten links KachelX 30374 KachelY + 1 29083 -1.68555726 1.22582134 -96.575317 70.234389
    Unten rechts KachelX + 1 30375 KachelY + 1 29083 -1.68550933 1.22582134 -96.572571 70.234389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22583755-1.22582134) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22583755-1.22582134) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68555726--1.68550933) × cos(1.22583755) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338157882814044 × 6371000     		do = 103.260577556662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68555726--1.68550933) × cos(1.22582134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338173137828682 × 6371000     		du = 103.265235858899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22583755)-sin(1.22582134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338157882814044-0.338173137828682)×R²
    abs(-1.68550933--1.68555726)×1.52550146378383e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52550146378383e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52550146378383e-05×40589641000000     		ar = 10664.3641339875m²