Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30374 / 29079
↖ ↑ ↗
← N 70.238104°
W 96.575317°		 ← 103.25 m → N 70.238104°
W 96.572571°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
N 70.237176°
W 96.575317°		 ← 103.25 m →
10 663 m²		 N 70.237176°
W 96.572571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231739044189453 y=0.221858978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231739044189453 × 217)
    floor (0.231739044189453 × 131072)
    floor (30374.5)     		tx = 30374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221858978271484 × 217)
    floor (0.221858978271484 × 131072)
    floor (29079.5)     		ty = 29079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30374 / 29079 ti = "17/30374/29079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30374/29079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30374 ÷ 217
    30374 ÷ 131072     		x = 0.231735229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29079 ÷ 217
    29079 ÷ 131072     		y = 0.221855163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231735229492188 × 2 - 1) × π
    -0.536529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.68555726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221855163574219 × 2 - 1) × π
    0.556289672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.74763554944839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68555726} λ = -1.68555726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74763554944839))-π/2
    2×atan(5.74101227578036)-π/2
    2×1.39834125154976-π/2
    2.79668250309953-1.57079632675     		φ = 1.22588618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68555726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.575317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22588618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.238104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30374 KachelY 29079 -1.68555726 1.22588618 -96.575317 70.238104
    Oben rechts KachelX + 1 30375 KachelY 29079 -1.68550933 1.22588618 -96.572571 70.238104
    Unten links KachelX 30374 KachelY + 1 29080 -1.68555726 1.22586997 -96.575317 70.237176
    Unten rechts KachelX + 1 30375 KachelY + 1 29080 -1.68550933 1.22586997 -96.572571 70.237176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22588618-1.22586997) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22588618-1.22586997) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68555726--1.68550933) × cos(1.22588618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338112117237012 × 6371000     		do = 103.246602487155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68555726--1.68550933) × cos(1.22586997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338127372518205 × 6371000     		du = 103.251260870789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22588618)-sin(1.22586997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338112117237012-0.338127372518205)×R²
    abs(-1.68550933--1.68555726)×1.52552811930606e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52552811930606e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52552811930606e-05×40589641000000     		ar = 10662.9208779933m²