Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30373 / 42136
↖ ↑ ↗
← S 45.675482°
W 13.156128°		 ← 426.77 m → S 45.675482°
W 13.150635°		 →
↑
426.79 m
↓
↑
426.79 m
↓
S 45.679320°
W 13.156128°		 ← 426.74 m →
182 137 m²		 S 45.679320°
W 13.150635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463462829589844 y=0.642951965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463462829589844 × 216)
    floor (0.463462829589844 × 65536)
    floor (30373.5)     		tx = 30373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642951965332031 × 216)
    floor (0.642951965332031 × 65536)
    floor (42136.5)     		ty = 42136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30373 / 42136 ti = "16/30373/42136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30373/42136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30373 ÷ 216
    30373 ÷ 65536     		x = 0.463455200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42136 ÷ 216
    42136 ÷ 65536     		y = 0.6429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463455200195312 × 2 - 1) × π
    -0.073089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22961775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.898145751281372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22961775} λ = -0.22961775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898145751281372))-π/2
    2×atan(0.4073242403851)-π/2
    2×0.386804387706259-π/2
    0.773608775412518-1.57079632675     		φ = -0.79718755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22961775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.156128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79718755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.675482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30373 KachelY 42136 -0.22961775 -0.79718755 -13.156128 -45.675482
    Oben rechts KachelX + 1 30374 KachelY 42136 -0.22952188 -0.79718755 -13.150635 -45.675482
    Unten links KachelX 30373 KachelY + 1 42137 -0.22961775 -0.79725454 -13.156128 -45.679320
    Unten rechts KachelX + 1 30374 KachelY + 1 42137 -0.22952188 -0.79725454 -13.150635 -45.679320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79718755--0.79725454) × R
    6.6989999999989e-05 × 6371000     		dl = 426.79328999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79718755--0.79725454) × R
    6.6989999999989e-05 × 6371000     		dr = 426.79328999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22961775--0.22952188) × cos(-0.79718755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698721479395608 × 6371000     		do = 426.770534251135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22961775--0.22952188) × cos(-0.79725454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698673553596929 × 6371000     		du = 426.741261759434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79718755)-sin(-0.79725454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698721479395608-0.698673553596929)×R²
    abs(-0.22952188--0.22961775)×4.79257986796267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79257986796267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79257986796267e-05×40589641000000     		ar = 182136.553804366m²