Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30373 / 27949
↖ ↑ ↗
← N 25.577130°
W 13.156128°		 ← 550.93 m → N 25.577130°
W 13.150635°		 →
↑
550.96 m
↓
↑
550.96 m
↓
N 25.572176°
W 13.156128°		 ← 550.96 m →
303 551 m²		 N 25.572176°
W 13.150635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463462829589844 y=0.426475524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463462829589844 × 216)
    floor (0.463462829589844 × 65536)
    floor (30373.5)     		tx = 30373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426475524902344 × 216)
    floor (0.426475524902344 × 65536)
    floor (27949.5)     		ty = 27949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30373 / 27949 ti = "16/30373/27949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30373/27949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30373 ÷ 216
    30373 ÷ 65536     		x = 0.463455200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27949 ÷ 216
    27949 ÷ 65536     		y = 0.426467895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463455200195312 × 2 - 1) × π
    -0.073089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22961775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426467895507812 × 2 - 1) × π
    0.147064208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.462015838538101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22961775} λ = -0.22961775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462015838538101))-π/2
    2×atan(1.5872704430699)-π/2
    2×1.00860073378671-π/2
    2.01720146757342-1.57079632675     		φ = 0.44640514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22961775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.156128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44640514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.577130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30373 KachelY 27949 -0.22961775 0.44640514 -13.156128 25.577130
    Oben rechts KachelX + 1 30374 KachelY 27949 -0.22952188 0.44640514 -13.150635 25.577130
    Unten links KachelX 30373 KachelY + 1 27950 -0.22961775 0.44631866 -13.156128 25.572176
    Unten rechts KachelX + 1 30374 KachelY + 1 27950 -0.22952188 0.44631866 -13.150635 25.572176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44640514-0.44631866) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dl = 550.964079999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44640514-0.44631866) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dr = 550.964079999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22961775--0.22952188) × cos(0.44640514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90200492094383 × 6371000     		do = 550.933574192296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22961775--0.22952188) × cos(0.44631866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902042253213629 × 6371000     		du = 550.956376286115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44640514)-sin(0.44631866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90200492094383-0.902042253213629)×R²
    abs(-0.22952188--0.22961775)×3.73322697985179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73322697985179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73322697985179e-05×40589641000000     		ar = 303550.89160259m²