Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30372 / 13224
↖ ↑ ↗
← N 72.541319°
W 13.161621°		 ← 183.25 m → N 72.541319°
W 13.156128°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 72.539671°
W 13.161621°		 ← 183.26 m →
33 590 m²		 N 72.539671°
W 13.156128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463447570800781 y=0.201789855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463447570800781 × 216)
    floor (0.463447570800781 × 65536)
    floor (30372.5)     		tx = 30372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201789855957031 × 216)
    floor (0.201789855957031 × 65536)
    floor (13224.5)     		ty = 13224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30372 / 13224 ti = "16/30372/13224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30372/13224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30372 ÷ 216
    30372 ÷ 65536     		x = 0.46343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13224 ÷ 216
    13224 ÷ 65536     		y = 0.2017822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.0731201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22971362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2017822265625 × 2 - 1) × π
    0.596435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87375753234875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22971362} λ = -0.22971362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87375753234875))-π/2
    2×atan(6.51272224460818)-π/2
    2×1.41844059297904-π/2
    2.83688118595807-1.57079632675     		φ = 1.26608486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22971362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.161621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26608486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.541319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30372 KachelY 13224 -0.22971362 1.26608486 -13.161621 72.541319
    Oben rechts KachelX + 1 30373 KachelY 13224 -0.22961775 1.26608486 -13.156128 72.541319
    Unten links KachelX 30372 KachelY + 1 13225 -0.22971362 1.26605609 -13.161621 72.539671
    Unten rechts KachelX + 1 30373 KachelY + 1 13225 -0.22961775 1.26605609 -13.156128 72.539671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26608486-1.26605609) × R
    2.87700000001223e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26608486-1.26605609) × R
    2.87700000001223e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22971362--0.22961775) × cos(1.26608486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300017946194763 × 6371000     		do = 183.247292316275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22971362--0.22961775) × cos(1.26605609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300045390739041 × 6371000     		du = 183.264055108274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26608486)-sin(1.26605609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300017946194763-0.300045390739041)×R²
    abs(-0.22961775--0.22971362)×2.74445442787763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74445442787763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74445442787763e-05×40589641000000     		ar = 33589.6049856122m²