Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30371 / 27957
↖ ↑ ↗
← N 25.537485°
W 13.167114°		 ← 551.17 m → N 25.537485°
W 13.161621°		 →
↑
551.16 m
↓
↑
551.16 m
↓
N 25.532529°
W 13.167114°		 ← 551.20 m →
303 788 m²		 N 25.532529°
W 13.161621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463432312011719 y=0.426597595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463432312011719 × 216)
    floor (0.463432312011719 × 65536)
    floor (30371.5)     		tx = 30371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426597595214844 × 216)
    floor (0.426597595214844 × 65536)
    floor (27957.5)     		ty = 27957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30371 / 27957 ti = "16/30371/27957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30371/27957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30371 ÷ 216
    30371 ÷ 65536     		x = 0.463424682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27957 ÷ 216
    27957 ÷ 65536     		y = 0.426589965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463424682617188 × 2 - 1) × π
    -0.073150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22980950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426589965820312 × 2 - 1) × π
    0.146820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.46124884814418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22980950} λ = -0.22980950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46124884814418))-π/2
    2×atan(1.58605348864334)-π/2
    2×1.00825476198205-π/2
    2.0165095239641-1.57079632675     		φ = 0.44571320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22980950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.167114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44571320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.537485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30371 KachelY 27957 -0.22980950 0.44571320 -13.167114 25.537485
    Oben rechts KachelX + 1 30372 KachelY 27957 -0.22971362 0.44571320 -13.161621 25.537485
    Unten links KachelX 30371 KachelY + 1 27958 -0.22980950 0.44562669 -13.167114 25.532529
    Unten rechts KachelX + 1 30372 KachelY + 1 27958 -0.22971362 0.44562669 -13.161621 25.532529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44571320-0.44562669) × R
    8.65099999999841e-05 × 6371000     		dl = 551.155209999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44571320-0.44562669) × R
    8.65099999999841e-05 × 6371000     		dr = 551.155209999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22980950--0.22971362) × cos(0.44571320) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902303433303567 × 6371000     		do = 551.173387642523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22980950--0.22971362) × cos(0.44562669) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902340724518973 × 6371000     		du = 551.196167036645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44571320)-sin(0.44562669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902303433303567-0.902340724518973)×R²
    abs(-0.22971362--0.22980950)×3.72912154062988e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.72912154062988e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.72912154062988e-05×40589641000000     		ar = 303788.361892808m²