Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30371 / 21087
↖ ↑ ↗
← N 76.455847°
W 96.583557°		 ← 71.53 m → N 76.455847°
W 96.580811°		 →
↑
71.55 m
↓
↑
71.55 m
↓
N 76.455203°
W 96.583557°		 ← 71.53 m →
5 118 m²		 N 76.455203°
W 96.580811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231716156005859 y=0.160884857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231716156005859 × 217)
    floor (0.231716156005859 × 131072)
    floor (30371.5)     		tx = 30371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160884857177734 × 217)
    floor (0.160884857177734 × 131072)
    floor (21087.5)     		ty = 21087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30371 / 21087 ti = "17/30371/21087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30371/21087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30371 ÷ 217
    30371 ÷ 131072     		x = 0.231712341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21087 ÷ 217
    21087 ÷ 131072     		y = 0.160881042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231712341308594 × 2 - 1) × π
    -0.536575317382812 × 3.1415926535     		Λ = -1.68570108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160881042480469 × 2 - 1) × π
    0.678237915039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.13074725121188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68570108} λ = -1.68570108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13074725121188))-π/2
    2×atan(8.42115718081312)-π/2
    2×1.45260129170328-π/2
    2.90520258340657-1.57079632675     		φ = 1.33440626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68570108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.583557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33440626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.455847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30371 KachelY 21087 -1.68570108 1.33440626 -96.583557 76.455847
    Oben rechts KachelX + 1 30372 KachelY 21087 -1.68565314 1.33440626 -96.580811 76.455847
    Unten links KachelX 30371 KachelY + 1 21088 -1.68570108 1.33439503 -96.583557 76.455203
    Unten rechts KachelX + 1 30372 KachelY + 1 21088 -1.68565314 1.33439503 -96.580811 76.455203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33440626-1.33439503) × R
    1.12299999999177e-05 × 6371000     		dl = 71.5463299994756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33440626-1.33439503) × R
    1.12299999999177e-05 × 6371000     		dr = 71.5463299994756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68570108--1.68565314) × cos(1.33440626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234194620010952 × 6371000     		do = 71.529065120817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68570108--1.68565314) × cos(1.33439503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234205537686903 × 6371000     		du = 71.5323996600734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33440626)-sin(1.33439503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234194620010952-0.234205537686903)×R²
    abs(-1.68565314--1.68570108)×1.09176759511553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09176759511553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09176759511553e-05×40589641000000     		ar = 5117.7613848013m²