Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30369 / 16670
↖ ↑ ↗
← N 65.879215°
W 13.178100°		 ← 249.61 m → N 65.879215°
W 13.172607°		 →
↑
249.68 m
↓
↑
249.68 m
↓
N 65.876970°
W 13.178100°		 ← 249.63 m →
62 324 m²		 N 65.876970°
W 13.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463401794433594 y=0.254371643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463401794433594 × 216)
    floor (0.463401794433594 × 65536)
    floor (30369.5)     		tx = 30369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254371643066406 × 216)
    floor (0.254371643066406 × 65536)
    floor (16670.5)     		ty = 16670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30369 / 16670 ti = "16/30369/16670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30369/16670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30369 ÷ 216
    30369 ÷ 65536     		x = 0.463394165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16670 ÷ 216
    16670 ÷ 65536     		y = 0.254364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463394165039062 × 2 - 1) × π
    -0.073211669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23000124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254364013671875 × 2 - 1) × π
    0.49127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54337642016733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23000124} λ = -0.23000124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54337642016733))-π/2
    2×atan(4.68036650626318)-π/2
    2×1.36030276643225-π/2
    2.7206055328645-1.57079632675     		φ = 1.14980921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23000124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.178100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14980921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.879215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30369 KachelY 16670 -0.23000124 1.14980921 -13.178100 65.879215
    Oben rechts KachelX + 1 30370 KachelY 16670 -0.22990537 1.14980921 -13.172607 65.879215
    Unten links KachelX 30369 KachelY + 1 16671 -0.23000124 1.14977002 -13.178100 65.876970
    Unten rechts KachelX + 1 30370 KachelY + 1 16671 -0.22990537 1.14977002 -13.172607 65.876970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14980921-1.14977002) × R
    3.91899999998557e-05 × 6371000     		dl = 249.679489999081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14980921-1.14977002) × R
    3.91899999998557e-05 × 6371000     		dr = 249.679489999081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23000124--0.22990537) × cos(1.14980921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408661579680623 × 6371000     		do = 249.6054949378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23000124--0.22990537) × cos(1.14977002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408697347530674 × 6371000     		du = 249.62734150317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14980921)-sin(1.14977002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408661579680623-0.408697347530674)×R²
    abs(-0.22990537--0.23000124)×3.57678500506609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57678500506609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57678500506609e-05×40589641000000     		ar = 62324.1000046695m²