Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30368 / 6881
↖ ↑ ↗
← N 71.632531°
E153.632813°		 ← 384.93 m → N 71.632531°
E153.643799°		 →
↑
384.94 m
↓
↑
384.94 m
↓
N 71.629069°
E153.632813°		 ← 385 m →
148 187 m²		 N 71.629069°
E153.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.926773071289062 y=0.210006713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.926773071289062 × 215)
    floor (0.926773071289062 × 32768)
    floor (30368.5)     		tx = 30368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210006713867188 × 215)
    floor (0.210006713867188 × 32768)
    floor (6881.5)     		ty = 6881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30368 / 6881 ti = "15/30368/6881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30368/6881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30368 ÷ 215
    30368 ÷ 32768     		x = 0.9267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6881 ÷ 215
    6881 ÷ 32768     		y = 0.209991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9267578125 × 2 - 1) × π
    0.853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.68139842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209991455078125 × 2 - 1) × π
    0.58001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82217742835757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.68139842} λ = 2.68139842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82217742835757))-π/2
    2×atan(6.18531187110626)-π/2
    2×1.41050992469701-π/2
    2.82101984939402-1.57079632675     		φ = 1.25022352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.68139842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25022352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.632531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30368 KachelY 6881 2.68139842 1.25022352 153.632813 71.632531
    Oben rechts KachelX + 1 30369 KachelY 6881 2.68159016 1.25022352 153.643799 71.632531
    Unten links KachelX 30368 KachelY + 1 6882 2.68139842 1.25016310 153.632813 71.629069
    Unten rechts KachelX + 1 30369 KachelY + 1 6882 2.68159016 1.25016310 153.643799 71.629069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25022352-1.25016310) × R
    6.0420000000061e-05 × 6371000     		dl = 384.935820000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25022352-1.25016310) × R
    6.0420000000061e-05 × 6371000     		dr = 384.935820000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.68139842-2.68159016) × cos(1.25022352) × R
    0.000191739999999996 × 0.315110237477976 × 6371000     		do = 384.930958506679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.68139842-2.68159016) × cos(1.25016310) × R
    0.000191739999999996 × 0.315167578810497 × 6371000     		du = 385.001005275917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25022352)-sin(1.25016310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315110237477976-0.315167578810497)×R²
    abs(2.68159016-2.68139842)×5.73413325204997e-05×R²
    0.000191739999999996×5.73413325204997e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.73413325204997e-05×40589641000000     		ar = 148187.195956534m²