Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30368 / 42153
↖ ↑ ↗
← S 45.740693°
W 13.183594°		 ← 426.32 m → S 45.740693°
W 13.178100°		 →
↑
426.28 m
↓
↑
426.28 m
↓
S 45.744527°
W 13.183594°		 ← 426.29 m →
181 726 m²		 S 45.744527°
W 13.178100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463386535644531 y=0.643211364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463386535644531 × 216)
    floor (0.463386535644531 × 65536)
    floor (30368.5)     		tx = 30368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643211364746094 × 216)
    floor (0.643211364746094 × 65536)
    floor (42153.5)     		ty = 42153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30368 / 42153 ti = "16/30368/42153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30368/42153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30368 ÷ 216
    30368 ÷ 65536     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42153 ÷ 216
    42153 ÷ 65536     		y = 0.643203735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643203735351562 × 2 - 1) × π
    -0.286407470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899775605868454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899775605868454))-π/2
    2×atan(0.406660901823021)-π/2
    2×0.386235312457784-π/2
    0.772470624915568-1.57079632675     		φ = -0.79832570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79832570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.740693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30368 KachelY 42153 -0.23009712 -0.79832570 -13.183594 -45.740693
    Oben rechts KachelX + 1 30369 KachelY 42153 -0.23000124 -0.79832570 -13.178100 -45.740693
    Unten links KachelX 30368 KachelY + 1 42154 -0.23009712 -0.79839261 -13.183594 -45.744527
    Unten rechts KachelX + 1 30369 KachelY + 1 42154 -0.23000124 -0.79839261 -13.178100 -45.744527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79832570--0.79839261) × R
    6.69099999999201e-05 × 6371000     		dl = 426.283609999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79832570--0.79839261) × R
    6.69099999999201e-05 × 6371000     		dr = 426.283609999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.23000124) × cos(-0.79832570) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.697906801557068 × 6371000     		do = 426.317402633169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.23000124) × cos(-0.79839261) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.697858879816306 × 6371000     		du = 426.2881295669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79832570)-sin(-0.79839261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697906801557068-0.697858879816306)×R²
    abs(-0.23000124--0.23009712)×4.79217407624022e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79217407624022e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79217407624022e-05×40589641000000     		ar = 181725.882153831m²