Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30368 / 20129
↖ ↑ ↗
← N 56.845968°
W 13.183594°		 ← 334.07 m → N 56.845968°
W 13.178100°		 →
↑
334.10 m
↓
↑
334.10 m
↓
N 56.842964°
W 13.183594°		 ← 334.10 m →
111 616 m²		 N 56.842964°
W 13.178100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463386535644531 y=0.307151794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463386535644531 × 216)
    floor (0.463386535644531 × 65536)
    floor (30368.5)     		tx = 30368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307151794433594 × 216)
    floor (0.307151794433594 × 65536)
    floor (20129.5)     		ty = 20129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30368 / 20129 ti = "16/30368/20129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30368/20129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30368 ÷ 216
    30368 ÷ 65536     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20129 ÷ 216
    20129 ÷ 65536     		y = 0.307144165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307144165039062 × 2 - 1) × π
    0.385711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21174894859578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21174894859578))-π/2
    2×atan(3.35935485666937)-π/2
    2×1.28147281686155-π/2
    2.56294563372311-1.57079632675     		φ = 0.99214931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99214931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.845968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30368 KachelY 20129 -0.23009712 0.99214931 -13.183594 56.845968
    Oben rechts KachelX + 1 30369 KachelY 20129 -0.23000124 0.99214931 -13.178100 56.845968
    Unten links KachelX 30368 KachelY + 1 20130 -0.23009712 0.99209687 -13.183594 56.842964
    Unten rechts KachelX + 1 30369 KachelY + 1 20130 -0.23000124 0.99209687 -13.178100 56.842964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99214931-0.99209687) × R
    5.24399999999314e-05 × 6371000     		dl = 334.095239999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99214931-0.99209687) × R
    5.24399999999314e-05 × 6371000     		dr = 334.095239999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.23000124) × cos(0.99214931) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.546891715623877 × 6371000     		do = 334.069613888559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.23000124) × cos(0.99209687) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.546935617815634 × 6371000     		du = 334.096431607369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99214931)-sin(0.99209687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546891715623877-0.546935617815634)×R²
    abs(-0.23000124--0.23009712)×4.39021917570948e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39021917570948e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39021917570948e-05×40589641000000     		ar = 111615.547690299m²