Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30367 / 20144
↖ ↑ ↗
← N 56.800878°
W 13.189087°		 ← 334.44 m → N 56.800878°
W 13.183594°		 →
↑
334.41 m
↓
↑
334.41 m
↓
N 56.797871°
W 13.189087°		 ← 334.46 m →
111 845 m²		 N 56.797871°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463371276855469 y=0.307380676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463371276855469 × 216)
    floor (0.463371276855469 × 65536)
    floor (30367.5)     		tx = 30367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307380676269531 × 216)
    floor (0.307380676269531 × 65536)
    floor (20144.5)     		ty = 20144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30367 / 20144 ti = "16/30367/20144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30367/20144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30367 ÷ 216
    30367 ÷ 65536     		x = 0.463363647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20144 ÷ 216
    20144 ÷ 65536     		y = 0.307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463363647460938 × 2 - 1) × π
    -0.073272705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23019299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307373046875 × 2 - 1) × π
    0.38525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21031084160718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23019299} λ = -0.23019299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21031084160718))-π/2
    2×atan(3.3545272171359)-π/2
    2×1.28107933567538-π/2
    2.56215867135076-1.57079632675     		φ = 0.99136234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23019299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.189087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99136234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.800878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30367 KachelY 20144 -0.23019299 0.99136234 -13.189087 56.800878
    Oben rechts KachelX + 1 30368 KachelY 20144 -0.23009712 0.99136234 -13.183594 56.800878
    Unten links KachelX 30367 KachelY + 1 20145 -0.23019299 0.99130985 -13.189087 56.797871
    Unten rechts KachelX + 1 30368 KachelY + 1 20145 -0.23009712 0.99130985 -13.183594 56.797871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99136234-0.99130985) × R
    5.24899999999606e-05 × 6371000     		dl = 334.413789999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99136234-0.99130985) × R
    5.24899999999606e-05 × 6371000     		dr = 334.413789999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23019299--0.23009712) × cos(0.99136234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547550400126254 × 6371000     		do = 334.437087855715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23019299--0.23009712) × cos(0.99130985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547594321571198 × 6371000     		du = 334.463914537127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99136234)-sin(0.99130985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547550400126254-0.547594321571198)×R²
    abs(-0.23009712--0.23019299)×4.39214449436953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39214449436953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39214449436953e-05×40589641000000     		ar = 111844.859698222m²