Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30366 / 20128
↖ ↑ ↗
← N 56.848972°
W 13.194580°		 ← 334.04 m → N 56.848972°
W 13.189087°		 →
↑
334.03 m
↓
↑
334.03 m
↓
N 56.845968°
W 13.194580°		 ← 334.07 m →
111 585 m²		 N 56.845968°
W 13.189087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463356018066406 y=0.307136535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463356018066406 × 216)
    floor (0.463356018066406 × 65536)
    floor (30366.5)     		tx = 30366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307136535644531 × 216)
    floor (0.307136535644531 × 65536)
    floor (20128.5)     		ty = 20128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30366 / 20128 ti = "16/30366/20128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30366/20128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30366 ÷ 216
    30366 ÷ 65536     		x = 0.463348388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20128 ÷ 216
    20128 ÷ 65536     		y = 0.30712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.07330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23028887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30712890625 × 2 - 1) × π
    0.3857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21184482239502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23028887} λ = -0.23028887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21184482239502))-π/2
    2×atan(3.3596769462222)-π/2
    2×1.28149903210283-π/2
    2.56299806420566-1.57079632675     		φ = 0.99220174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23028887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.194580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99220174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.848972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30366 KachelY 20128 -0.23028887 0.99220174 -13.194580 56.848972
    Oben rechts KachelX + 1 30367 KachelY 20128 -0.23019299 0.99220174 -13.189087 56.848972
    Unten links KachelX 30366 KachelY + 1 20129 -0.23028887 0.99214931 -13.194580 56.845968
    Unten rechts KachelX + 1 30367 KachelY + 1 20129 -0.23019299 0.99214931 -13.189087 56.845968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99220174-0.99214931) × R
    5.24300000001032e-05 × 6371000     		dl = 334.031530000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99220174-0.99214931) × R
    5.24300000001032e-05 × 6371000     		dr = 334.031530000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23028887--0.23019299) × cos(0.99220174) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.546847820300513 × 6371000     		do = 334.042800365413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23028887--0.23019299) × cos(0.99214931) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.546891715623877 × 6371000     		du = 334.069613888655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99220174)-sin(0.99214931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546847820300513-0.546891715623877)×R²
    abs(-0.23019299--0.23028887)×4.38953233639072e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.38953233639072e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.38953233639072e-05×40589641000000     		ar = 111585.305998609m²