Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30365 / 13093
↖ ↑ ↗
← N 72.755924°
W 13.200073°		 ← 181.06 m → N 72.755924°
W 13.194580°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 72.754296°
W 13.200073°		 ← 181.08 m →
32 786 m²		 N 72.754296°
W 13.194580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463340759277344 y=0.199790954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463340759277344 × 216)
    floor (0.463340759277344 × 65536)
    floor (30365.5)     		tx = 30365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199790954589844 × 216)
    floor (0.199790954589844 × 65536)
    floor (13093.5)     		ty = 13093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30365 / 13093 ti = "16/30365/13093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30365/13093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30365 ÷ 216
    30365 ÷ 65536     		x = 0.463333129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13093 ÷ 216
    13093 ÷ 65536     		y = 0.199783325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463333129882812 × 2 - 1) × π
    -0.073333740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23038474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199783325195312 × 2 - 1) × π
    0.600433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88631700004921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23038474} λ = -0.23038474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88631700004921))-π/2
    2×atan(6.59503438562779)-π/2
    2×1.42031338018011-π/2
    2.84062676036022-1.57079632675     		φ = 1.26983043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23038474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.200073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26983043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.755924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30365 KachelY 13093 -0.23038474 1.26983043 -13.200073 72.755924
    Oben rechts KachelX + 1 30366 KachelY 13093 -0.23028887 1.26983043 -13.194580 72.755924
    Unten links KachelX 30365 KachelY + 1 13094 -0.23038474 1.26980201 -13.200073 72.754296
    Unten rechts KachelX + 1 30366 KachelY + 1 13094 -0.23028887 1.26980201 -13.194580 72.754296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26983043-1.26980201) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26983043-1.26980201) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23038474--0.23028887) × cos(1.26983043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296442825116996 × 6371000     		do = 181.063652085706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23038474--0.23028887) × cos(1.26980201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296469967535369 × 6371000     		du = 181.080230342897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26983043)-sin(1.26980201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296442825116996-0.296469967535369)×R²
    abs(-0.23028887--0.23038474)×2.71424183732605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71424183732605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71424183732605e-05×40589641000000     		ar = 32785.5773732676m²