Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30364 / 20157
↖ ↑ ↗
← N 56.761756°
W 13.205566°		 ← 334.79 m → N 56.761756°
W 13.200073°		 →
↑
334.80 m
↓
↑
334.80 m
↓
N 56.758746°
W 13.205566°		 ← 334.81 m →
112 090 m²		 N 56.758746°
W 13.200073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463325500488281 y=0.307579040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463325500488281 × 216)
    floor (0.463325500488281 × 65536)
    floor (30364.5)     		tx = 30364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307579040527344 × 216)
    floor (0.307579040527344 × 65536)
    floor (20157.5)     		ty = 20157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30364 / 20157 ti = "16/30364/20157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30364/20157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30364 ÷ 216
    30364 ÷ 65536     		x = 0.46331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20157 ÷ 216
    20157 ÷ 65536     		y = 0.307571411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23048061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307571411132812 × 2 - 1) × π
    0.384857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20906448221706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23048061} λ = -0.23048061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20906448221706))-π/2
    2×atan(3.35034887503825)-π/2
    2×1.28073793541733-π/2
    2.56147587083466-1.57079632675     		φ = 0.99067954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23048061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99067954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.761756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30364 KachelY 20157 -0.23048061 0.99067954 -13.205566 56.761756
    Oben rechts KachelX + 1 30365 KachelY 20157 -0.23038474 0.99067954 -13.200073 56.761756
    Unten links KachelX 30364 KachelY + 1 20158 -0.23048061 0.99062699 -13.205566 56.758746
    Unten rechts KachelX + 1 30365 KachelY + 1 20158 -0.23038474 0.99062699 -13.200073 56.758746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99067954-0.99062699) × R
    5.25500000000401e-05 × 6371000     		dl = 334.796050000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99067954-0.99062699) × R
    5.25500000000401e-05 × 6371000     		dr = 334.796050000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23048061--0.23038474) × cos(0.99067954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548121620846294 × 6371000     		do = 334.785982485486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23048061--0.23038474) × cos(0.99062699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548165572838105 × 6371000     		du = 334.812827824551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99067954)-sin(0.99062699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548121620846294-0.548165572838105)×R²
    abs(-0.23038474--0.23048061)×4.39519918105091e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39519918105091e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39519918105091e-05×40589641000000     		ar = 112089.518414312m²