Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30364 / 13092
↖ ↑ ↗
← N 72.757553°
W 13.205566°		 ← 181.05 m → N 72.757553°
W 13.200073°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 72.755924°
W 13.205566°		 ← 181.06 m →
32 783 m²		 N 72.755924°
W 13.200073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463325500488281 y=0.199775695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463325500488281 × 216)
    floor (0.463325500488281 × 65536)
    floor (30364.5)     		tx = 30364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199775695800781 × 216)
    floor (0.199775695800781 × 65536)
    floor (13092.5)     		ty = 13092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30364 / 13092 ti = "16/30364/13092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30364/13092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30364 ÷ 216
    30364 ÷ 65536     		x = 0.46331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13092 ÷ 216
    13092 ÷ 65536     		y = 0.19976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23048061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19976806640625 × 2 - 1) × π
    0.6004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.88641287384845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23048061} λ = -0.23048061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88641287384845))-π/2
    2×atan(6.5956667069415)-π/2
    2×1.42032759007932-π/2
    2.84065518015865-1.57079632675     		φ = 1.26985885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23048061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.205566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26985885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.757553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30364 KachelY 13092 -0.23048061 1.26985885 -13.205566 72.757553
    Oben rechts KachelX + 1 30365 KachelY 13092 -0.23038474 1.26985885 -13.200073 72.757553
    Unten links KachelX 30364 KachelY + 1 13093 -0.23048061 1.26983043 -13.205566 72.755924
    Unten rechts KachelX + 1 30365 KachelY + 1 13093 -0.23038474 1.26983043 -13.200073 72.755924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26985885-1.26983043) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26985885-1.26983043) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23048061--0.23038474) × cos(1.26985885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296415682459187 × 6371000     		do = 181.047073682271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23048061--0.23038474) × cos(1.26983043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296442825116996 × 6371000     		du = 181.063652085706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26985885)-sin(1.26983043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296415682459187-0.296442825116996)×R²
    abs(-0.23038474--0.23048061)×2.7142657809065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.7142657809065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.7142657809065e-05×40589641000000     		ar = 32782.5756373797m²