Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30363 / 16314
↖ ↑ ↗
← N 66.666036°
W 13.211060°		 ← 241.95 m → N 66.666036°
W 13.205566°		 →
↑
241.97 m
↓
↑
241.97 m
↓
N 66.663859°
W 13.211060°		 ← 241.97 m →
58 548 m²		 N 66.663859°
W 13.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463310241699219 y=0.248939514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463310241699219 × 216)
    floor (0.463310241699219 × 65536)
    floor (30363.5)     		tx = 30363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248939514160156 × 216)
    floor (0.248939514160156 × 65536)
    floor (16314.5)     		ty = 16314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30363 / 16314 ti = "16/30363/16314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30363/16314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30363 ÷ 216
    30363 ÷ 65536     		x = 0.463302612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16314 ÷ 216
    16314 ÷ 65536     		y = 0.248931884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463302612304688 × 2 - 1) × π
    -0.073394775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23057649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248931884765625 × 2 - 1) × π
    0.50213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57750749269681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23057649} λ = -0.23057649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57750749269681))-π/2
    2×atan(4.84286986683068)-π/2
    2×1.36716907335323-π/2
    2.73433814670647-1.57079632675     		φ = 1.16354182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23057649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.211060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16354182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.666036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30363 KachelY 16314 -0.23057649 1.16354182 -13.211060 66.666036
    Oben rechts KachelX + 1 30364 KachelY 16314 -0.23048061 1.16354182 -13.205566 66.666036
    Unten links KachelX 30363 KachelY + 1 16315 -0.23057649 1.16350384 -13.211060 66.663859
    Unten rechts KachelX + 1 30364 KachelY + 1 16315 -0.23048061 1.16350384 -13.205566 66.663859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16354182-1.16350384) × R
    3.7980000000104e-05 × 6371000     		dl = 241.970580000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16354182-1.16350384) × R
    3.7980000000104e-05 × 6371000     		dr = 241.970580000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23057649--0.23048061) × cos(1.16354182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.396089879856004 × 6371000     		do = 241.952089323044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23057649--0.23048061) × cos(1.16350384) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.396124753252362 × 6371000     		du = 241.973391788822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16354182)-sin(1.16350384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396089879856004-0.396124753252362)×R²
    abs(-0.23048061--0.23057649)×3.48733963581593e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.48733963581593e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.48733963581593e-05×40589641000000     		ar = 58547.8646780045m²