Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30363 / 13189
↖ ↑ ↗
← N 72.598908°
W 13.211060°		 ← 182.68 m → N 72.598908°
W 13.205566°		 →
↑
182.66 m
↓
↑
182.66 m
↓
N 72.597265°
W 13.211060°		 ← 182.70 m →
33 369 m²		 N 72.597265°
W 13.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463310241699219 y=0.201255798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463310241699219 × 216)
    floor (0.463310241699219 × 65536)
    floor (30363.5)     		tx = 30363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201255798339844 × 216)
    floor (0.201255798339844 × 65536)
    floor (13189.5)     		ty = 13189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30363 / 13189 ti = "16/30363/13189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30363/13189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30363 ÷ 216
    30363 ÷ 65536     		x = 0.463302612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13189 ÷ 216
    13189 ÷ 65536     		y = 0.201248168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463302612304688 × 2 - 1) × π
    -0.073394775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23057649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201248168945312 × 2 - 1) × π
    0.597503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87711311532216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23057649} λ = -0.23057649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87711311532216))-π/2
    2×atan(6.53461293195091)-π/2
    2×1.41894315567002-π/2
    2.83788631134004-1.57079632675     		φ = 1.26708998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23057649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.211060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26708998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.598908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30363 KachelY 13189 -0.23057649 1.26708998 -13.211060 72.598908
    Oben rechts KachelX + 1 30364 KachelY 13189 -0.23048061 1.26708998 -13.205566 72.598908
    Unten links KachelX 30363 KachelY + 1 13190 -0.23057649 1.26706131 -13.211060 72.597265
    Unten rechts KachelX + 1 30364 KachelY + 1 13190 -0.23048061 1.26706131 -13.205566 72.597265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26708998-1.26706131) × R
    2.86699999998419e-05 × 6371000     		dl = 182.656569998993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26708998-1.26706131) × R
    2.86699999998419e-05 × 6371000     		dr = 182.656569998993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23057649--0.23048061) × cos(1.26708998) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.299058977109993 × 6371000     		do = 182.680618774912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23057649--0.23048061) × cos(1.26706131) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.29908633489391 × 6371000     		du = 182.697330317706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26708998)-sin(1.26706131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299058977109993-0.29908633489391)×R²
    abs(-0.23048061--0.23057649)×2.73577839163819e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.73577839163819e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.73577839163819e-05×40589641000000     		ar = 33369.3414696205m²