Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30362 / 42169
↖ ↑ ↗
← S 45.801999°
W 13.216553°		 ← 425.80 m → S 45.801999°
W 13.211060°		 →
↑
425.77 m
↓
↑
425.77 m
↓
S 45.805828°
W 13.216553°		 ← 425.78 m →
181 290 m²		 S 45.805828°
W 13.211060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463294982910156 y=0.643455505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463294982910156 × 216)
    floor (0.463294982910156 × 65536)
    floor (30362.5)     		tx = 30362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643455505371094 × 216)
    floor (0.643455505371094 × 65536)
    floor (42169.5)     		ty = 42169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30362 / 42169 ti = "16/30362/42169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30362/42169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30362 ÷ 216
    30362 ÷ 65536     		x = 0.463287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42169 ÷ 216
    42169 ÷ 65536     		y = 0.643447875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.07342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23067236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643447875976562 × 2 - 1) × π
    -0.286895751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.901309586656296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23067236} λ = -0.23067236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901309586656296))-π/2
    2×atan(0.40603757002419)-π/2
    2×0.385700318679456-π/2
    0.771400637358913-1.57079632675     		φ = -0.79939569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23067236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.216553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79939569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.801999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30362 KachelY 42169 -0.23067236 -0.79939569 -13.216553 -45.801999
    Oben rechts KachelX + 1 30363 KachelY 42169 -0.23057649 -0.79939569 -13.211060 -45.801999
    Unten links KachelX 30362 KachelY + 1 42170 -0.23067236 -0.79946252 -13.216553 -45.805828
    Unten rechts KachelX + 1 30363 KachelY + 1 42170 -0.23057649 -0.79946252 -13.211060 -45.805828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79939569--0.79946252) × R
    6.68299999999622e-05 × 6371000     		dl = 425.773929999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79939569--0.79946252) × R
    6.68299999999622e-05 × 6371000     		dr = 425.773929999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23067236--0.23057649) × cos(-0.79939569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697140087564713 × 6371000     		do = 425.804639461247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23067236--0.23057649) × cos(-0.79946252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697092173246369 × 6371000     		du = 425.775373981594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79939569)-sin(-0.79946252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697140087564713-0.697092173246369)×R²
    abs(-0.23057649--0.23067236)×4.79143183444997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79143183444997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79143183444997e-05×40589641000000     		ar = 181290.284583963m²