Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30362 / 41333
↖ ↑ ↗
← S 42.508552°
W 13.216553°		 ← 450.26 m → S 42.508552°
W 13.211060°		 →
↑
450.24 m
↓
↑
450.24 m
↓
S 42.512602°
W 13.216553°		 ← 450.23 m →
202 717 m²		 S 42.512602°
W 13.211060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463294982910156 y=0.630699157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463294982910156 × 216)
    floor (0.463294982910156 × 65536)
    floor (30362.5)     		tx = 30362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630699157714844 × 216)
    floor (0.630699157714844 × 65536)
    floor (41333.5)     		ty = 41333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30362 / 41333 ti = "16/30362/41333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30362/41333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30362 ÷ 216
    30362 ÷ 65536     		x = 0.463287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41333 ÷ 216
    41333 ÷ 65536     		y = 0.630691528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.07342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23067236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630691528320312 × 2 - 1) × π
    -0.261383056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.821159090491562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23067236} λ = -0.23067236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821159090491562))-π/2
    2×atan(0.439921450106734)-π/2
    2×0.414441063452318-π/2
    0.828882126904635-1.57079632675     		φ = -0.74191420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23067236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.216553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74191420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.508552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30362 KachelY 41333 -0.23067236 -0.74191420 -13.216553 -42.508552
    Oben rechts KachelX + 1 30363 KachelY 41333 -0.23057649 -0.74191420 -13.211060 -42.508552
    Unten links KachelX 30362 KachelY + 1 41334 -0.23067236 -0.74198487 -13.216553 -42.512602
    Unten rechts KachelX + 1 30363 KachelY + 1 41334 -0.23057649 -0.74198487 -13.211060 -42.512602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74191420--0.74198487) × R
    7.06700000000504e-05 × 6371000     		dl = 450.238570000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74191420--0.74198487) × R
    7.06700000000504e-05 × 6371000     		dr = 450.238570000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23067236--0.23057649) × cos(-0.74191420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737176484663715 × 6371000     		do = 450.25838116418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23067236--0.23057649) × cos(-0.74198487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73712873108613 × 6371000     		du = 450.229213863017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74191420)-sin(-0.74198487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737176484663715-0.73712873108613)×R²
    abs(-0.23057649--0.23067236)×4.77535775856852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77535775856852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77535775856852e-05×40589641000000     		ar = 202717.123628446m²