Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30362 / 20298
↖ ↑ ↗
← N 56.334811°
W 13.216553°		 ← 338.58 m → N 56.334811°
W 13.211060°		 →
↑
338.55 m
↓
↑
338.55 m
↓
N 56.331767°
W 13.216553°		 ← 338.61 m →
114 634 m²		 N 56.331767°
W 13.211060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463294982910156 y=0.309730529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463294982910156 × 216)
    floor (0.463294982910156 × 65536)
    floor (30362.5)     		tx = 30362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309730529785156 × 216)
    floor (0.309730529785156 × 65536)
    floor (20298.5)     		ty = 20298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30362 / 20298 ti = "16/30362/20298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30362/20298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30362 ÷ 216
    30362 ÷ 65536     		x = 0.463287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20298 ÷ 216
    20298 ÷ 65536     		y = 0.309722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.07342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23067236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309722900390625 × 2 - 1) × π
    0.38055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1955462765242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23067236} λ = -0.23067236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1955462765242))-π/2
    2×atan(3.30536291956842)-π/2
    2×1.27701213583415-π/2
    2.55402427166829-1.57079632675     		φ = 0.98322794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23067236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.216553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98322794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.334811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30362 KachelY 20298 -0.23067236 0.98322794 -13.216553 56.334811
    Oben rechts KachelX + 1 30363 KachelY 20298 -0.23057649 0.98322794 -13.211060 56.334811
    Unten links KachelX 30362 KachelY + 1 20299 -0.23067236 0.98317480 -13.216553 56.331767
    Unten rechts KachelX + 1 30363 KachelY + 1 20299 -0.23057649 0.98317480 -13.211060 56.331767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98322794-0.98317480) × R
    5.31400000000071e-05 × 6371000     		dl = 338.554940000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98322794-0.98317480) × R
    5.31400000000071e-05 × 6371000     		dr = 338.554940000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23067236--0.23057649) × cos(0.98322794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554338853766968 × 6371000     		do = 338.583392316675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23067236--0.23057649) × cos(0.98317480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554383080932038 × 6371000     		du = 338.610405728202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98322794)-sin(0.98317480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554338853766968-0.554383080932038)×R²
    abs(-0.23057649--0.23067236)×4.42271650707982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42271650707982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42271650707982e-05×40589641000000     		ar = 114633.652859437m²