Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30362 / 13254
↖ ↑ ↗
← N 72.491810°
W 13.216553°		 ← 183.75 m → N 72.491810°
W 13.211060°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
N 72.490157°
W 13.216553°		 ← 183.77 m →
33 776 m²		 N 72.490157°
W 13.211060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463294982910156 y=0.202247619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463294982910156 × 216)
    floor (0.463294982910156 × 65536)
    floor (30362.5)     		tx = 30362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202247619628906 × 216)
    floor (0.202247619628906 × 65536)
    floor (13254.5)     		ty = 13254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30362 / 13254 ti = "16/30362/13254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30362/13254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30362 ÷ 216
    30362 ÷ 65536     		x = 0.463287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13254 ÷ 216
    13254 ÷ 65536     		y = 0.202239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.07342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23067236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202239990234375 × 2 - 1) × π
    0.59552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87088131837155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23067236} λ = -0.23067236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87088131837155))-π/2
    2×atan(6.4940171746454)-π/2
    2×1.41800854268558-π/2
    2.83601708537116-1.57079632675     		φ = 1.26522076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23067236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.216553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26522076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.491810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30362 KachelY 13254 -0.23067236 1.26522076 -13.216553 72.491810
    Oben rechts KachelX + 1 30363 KachelY 13254 -0.23057649 1.26522076 -13.211060 72.491810
    Unten links KachelX 30362 KachelY + 1 13255 -0.23067236 1.26519191 -13.216553 72.490157
    Unten rechts KachelX + 1 30363 KachelY + 1 13255 -0.23057649 1.26519191 -13.211060 72.490157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26522076-1.26519191) × R
    2.88500000000802e-05 × 6371000     		dl = 183.803350000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26522076-1.26519191) × R
    2.88500000000802e-05 × 6371000     		dr = 183.803350000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23067236--0.23057649) × cos(1.26522076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300842128072131 × 6371000     		do = 183.750692527227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23067236--0.23057649) × cos(1.26519191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300869641440553 × 6371000     		du = 183.767497356171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26522076)-sin(1.26519191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300842128072131-0.300869641440553)×R²
    abs(-0.23057649--0.23067236)×2.75133684223272e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.75133684223272e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.75133684223272e-05×40589641000000     		ar = 33775.5372455218m²