Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30360 / 20289
↖ ↑ ↗
← N 56.362207°
W 13.227539°		 ← 338.38 m → N 56.362207°
W 13.222046°		 →
↑
338.36 m
↓
↑
338.36 m
↓
N 56.359164°
W 13.227539°		 ← 338.40 m →
114 499 m²		 N 56.359164°
W 13.222046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463264465332031 y=0.309593200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463264465332031 × 216)
    floor (0.463264465332031 × 65536)
    floor (30360.5)     		tx = 30360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309593200683594 × 216)
    floor (0.309593200683594 × 65536)
    floor (20289.5)     		ty = 20289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30360 / 20289 ti = "16/30360/20289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30360/20289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30360 ÷ 216
    30360 ÷ 65536     		x = 0.4632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20289 ÷ 216
    20289 ÷ 65536     		y = 0.309585571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309585571289062 × 2 - 1) × π
    0.380828857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19640914071736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23086411} λ = -0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19640914071736))-π/2
    2×atan(3.30821622970967)-π/2
    2×1.27725120954101-π/2
    2.55450241908202-1.57079632675     		φ = 0.98370609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98370609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.362207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30360 KachelY 20289 -0.23086411 0.98370609 -13.227539 56.362207
    Oben rechts KachelX + 1 30361 KachelY 20289 -0.23076823 0.98370609 -13.222046 56.362207
    Unten links KachelX 30360 KachelY + 1 20290 -0.23086411 0.98365298 -13.227539 56.359164
    Unten rechts KachelX + 1 30361 KachelY + 1 20290 -0.23076823 0.98365298 -13.222046 56.359164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98370609-0.98365298) × R
    5.31099999999673e-05 × 6371000     		dl = 338.363809999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98370609-0.98365298) × R
    5.31099999999673e-05 × 6371000     		dr = 338.363809999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23086411--0.23076823) × cos(0.98370609) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.553940830435608 × 6371000     		do = 338.375576104092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23086411--0.23076823) × cos(0.98365298) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.553985046705521 × 6371000     		du = 338.402585678009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98370609)-sin(0.98365298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553940830435608-0.553985046705521)×R²
    abs(-0.23076823--0.23086411)×4.42162699134663e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.42162699134663e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.42162699134663e-05×40589641000000     		ar = 114498.618699437m²