Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30359 / 21079
↖ ↑ ↗
← N 76.460991°
W 96.616516°		 ← 71.50 m → N 76.460991°
W 96.613769°		 →
↑
71.48 m
↓
↑
71.48 m
↓
N 76.460349°
W 96.616516°		 ← 71.51 m →
5 111 m²		 N 76.460349°
W 96.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231624603271484 y=0.160823822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231624603271484 × 217)
    floor (0.231624603271484 × 131072)
    floor (30359.5)     		tx = 30359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160823822021484 × 217)
    floor (0.160823822021484 × 131072)
    floor (21079.5)     		ty = 21079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30359 / 21079 ti = "17/30359/21079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30359/21079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30359 ÷ 217
    30359 ÷ 131072     		x = 0.231620788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21079 ÷ 217
    21079 ÷ 131072     		y = 0.160820007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231620788574219 × 2 - 1) × π
    -0.536758422851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.68627632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160820007324219 × 2 - 1) × π
    0.678359985351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.13113074640884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68627632} λ = -1.68627632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13113074640884))-π/2
    2×atan(8.42438727346773)-π/2
    2×1.45264618958966-π/2
    2.90529237917932-1.57079632675     		φ = 1.33449605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68627632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.616516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33449605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.460991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30359 KachelY 21079 -1.68627632 1.33449605 -96.616516 76.460991
    Oben rechts KachelX + 1 30360 KachelY 21079 -1.68622838 1.33449605 -96.613769 76.460991
    Unten links KachelX 30359 KachelY + 1 21080 -1.68627632 1.33448483 -96.616516 76.460349
    Unten rechts KachelX + 1 30360 KachelY + 1 21080 -1.68622838 1.33448483 -96.613769 76.460349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33449605-1.33448483) × R
    1.12199999999785e-05 × 6371000     		dl = 71.4826199998628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33449605-1.33448483) × R
    1.12199999999785e-05 × 6371000     		dr = 71.4826199998628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68627632--1.68622838) × cos(1.33449605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234107326150737 × 6371000     		do = 71.5024033289634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68627632--1.68622838) × cos(1.33448483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234118234340717 × 6371000     		du = 71.50573497096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33449605)-sin(1.33448483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234107326150737-0.234118234340717)×R²
    abs(-1.68622838--1.68627632)×1.09081899795915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09081899795915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09081899795915e-05×40589641000000     		ar = 5111.29820340382m²