Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30359 / 16933
↖ ↑ ↗
← N 65.281986°
W 13.233032°		 ← 255.40 m → N 65.281986°
W 13.227539°		 →
↑
255.41 m
↓
↑
255.41 m
↓
N 65.279689°
W 13.233032°		 ← 255.42 m →
65 236 m²		 N 65.279689°
W 13.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463249206542969 y=0.258384704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463249206542969 × 216)
    floor (0.463249206542969 × 65536)
    floor (30359.5)     		tx = 30359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258384704589844 × 216)
    floor (0.258384704589844 × 65536)
    floor (16933.5)     		ty = 16933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30359 / 16933 ti = "16/30359/16933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30359/16933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30359 ÷ 216
    30359 ÷ 65536     		x = 0.463241577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16933 ÷ 216
    16933 ÷ 65536     		y = 0.258377075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463241577148438 × 2 - 1) × π
    -0.073516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23095998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258377075195312 × 2 - 1) × π
    0.483245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51816161096718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23095998} λ = -0.23095998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51816161096718))-π/2
    2×atan(4.56382738807118)-π/2
    2×1.35509095707376-π/2
    2.71018191414751-1.57079632675     		φ = 1.13938559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23095998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.233032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13938559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.281986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30359 KachelY 16933 -0.23095998 1.13938559 -13.233032 65.281986
    Oben rechts KachelX + 1 30360 KachelY 16933 -0.23086411 1.13938559 -13.227539 65.281986
    Unten links KachelX 30359 KachelY + 1 16934 -0.23095998 1.13934550 -13.233032 65.279689
    Unten rechts KachelX + 1 30360 KachelY + 1 16934 -0.23086411 1.13934550 -13.227539 65.279689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13938559-1.13934550) × R
    4.00900000001592e-05 × 6371000     		dl = 255.413390001014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13938559-1.13934550) × R
    4.00900000001592e-05 × 6371000     		dr = 255.413390001014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23095998--0.23086411) × cos(1.13938559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418152698608695 × 6371000     		do = 255.402554302681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23095998--0.23086411) × cos(1.13934550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41818911509658 × 6371000     		du = 255.424797048108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13938559)-sin(1.13934550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418152698608695-0.41818911509658)×R²
    abs(-0.23086411--0.23095998)×3.64164878842721e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64164878842721e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64164878842721e-05×40589641000000     		ar = 65236.0727654489m²