Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30358 / 7026
↖ ↑ ↗
← N 71.123880°
E153.522949°		 ← 395.23 m → N 71.123880°
E153.533936°		 →
↑
395.26 m
↓
↑
395.26 m
↓
N 71.120326°
E153.522949°		 ← 395.30 m →
156 231 m²		 N 71.120326°
E153.533936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.926467895507812 y=0.214431762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.926467895507812 × 215)
    floor (0.926467895507812 × 32768)
    floor (30358.5)     		tx = 30358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214431762695312 × 215)
    floor (0.214431762695312 × 32768)
    floor (7026.5)     		ty = 7026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30358 / 7026 ti = "15/30358/7026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30358/7026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30358 ÷ 215
    30358 ÷ 32768     		x = 0.92645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7026 ÷ 215
    7026 ÷ 32768     		y = 0.21441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92645263671875 × 2 - 1) × π
    0.8529052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.67948094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21441650390625 × 2 - 1) × π
    0.5711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79437402657794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67948094} λ = 2.67948094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79437402657794))-π/2
    2×atan(6.0157078697143)-π/2
    2×1.40607110773172-π/2
    2.81214221546344-1.57079632675     		φ = 1.24134589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67948094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24134589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.123880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30358 KachelY 7026 2.67948094 1.24134589 153.522949 71.123880
    Oben rechts KachelX + 1 30359 KachelY 7026 2.67967269 1.24134589 153.533936 71.123880
    Unten links KachelX 30358 KachelY + 1 7027 2.67948094 1.24128385 153.522949 71.120326
    Unten rechts KachelX + 1 30359 KachelY + 1 7027 2.67967269 1.24128385 153.533936 71.120326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24134589-1.24128385) × R
    6.20399999999854e-05 × 6371000     		dl = 395.256839999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24134589-1.24128385) × R
    6.20399999999854e-05 × 6371000     		dr = 395.256839999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67948094-2.67967269) × cos(1.24134589) × R
    0.000191749999999935 × 0.323523069424875 × 6371000     		do = 395.228479889769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67948094-2.67967269) × cos(1.24128385) × R
    0.000191749999999935 × 0.323581772308568 × 6371000     		du = 395.300193636575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24134589)-sin(1.24128385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323523069424875-0.323581772308568)×R²
    abs(2.67967269-2.67948094)×5.87028836922521e-05×R²
    0.000191749999999935×5.87028836922521e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.87028836922521e-05×40589641000000     		ar = 156230.932763663m²